Aplicación del Teorema del Valor Medio (Lagrange)

**Demuestra que existe $\alpha \in (-1, 3)$ tal que $f' (\alpha)= -\frac{1}{4}$, siendo $f(x) = [x^2 + \log(x^2 - 2x + 7)]^{\sqrt[3]{\frac{3-x}{4}}}$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.** El enunciado nos pide demostrar la existencia de un valor en el que la derivada toma un valor concreto. Esto sugiere el uso del **Teorema del Valor Medio (o de Lagrange)**. Enunciado del Teorema del Valor Medio: Sea $f(x)$ una función tal que: 1. Es **continua** en el intervalo cerrado $[a, b]$. 2. Es **derivable** en el intervalo abierto $(a, b)$. Entonces, existe al menos un punto $\alpha \in (a, b)$ tal que: $$f'(\alpha) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ En nuestro caso, el intervalo es $[a, b] = [-1, 3]$. 💡 **Tip:** Siempre que te pidan demostrar que una derivada toma un valor específico en un intervalo, piensa en el Teorema del Valor Medio.

Para aplicar el teorema en $[-1, 3]$, debemos asegurar que la función está bien definida y es suave en dicho intervalo. Analicemos la base de la potencia: $g(x) = x^2 + \log(x^2 - 2x + 7)$. - El argumento del logaritmo es $x^2 - 2x + 7$. Su discriminante es $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(7) = 4 - 28 = -24 \lt 0$. Al ser el coeficiente de $x^2$ positivo, la parábola siempre es positiva ($x^2 - 2x + 7 \gt 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$). - Por tanto, el logaritmo está definido para todo $x$. - Además, $x^2 + \log(x^2 - 2x + 7)$ es mayor que cero en el intervalo considerado (por ejemplo, en $x=1$ vale $1 + \log(6) \gt 0$). El exponente es $h(x) = \sqrt[3]{\frac{3-x}{4}}$, que es una raíz cúbica (definida para cualquier número real). Como $f(x)$ es una composición y combinación de funciones elementales (polinomios, logaritmos y raíces) que son continuas y derivables en sus dominios, y hemos comprobado que no hay problemas de definición en $[-1, 3]$: - **$f(x)$ es continua en $[-1, 3]$**. - **$f(x)$ es derivable en $(-1, 3)$**. Se cumplen las hipótesis del Teorema de Lagrange.

Calculamos el valor de la función en $a = -1$ y $b = 3$ (Nota: En este contexto de examen, $\log$ suele representar el logaritmo decimal, $\log_{10}$): Para **$x = -1$**: $$f(-1) = [(-1)^2 + \log((-1)^2 - 2(-1) + 7)]^{\sqrt[3]{\frac{3 - (-1)}{4}}}$$ $$f(-1) = [1 + \log(1 + 2 + 7)]^{\sqrt[3]{\frac{4}{4}}} = [1 + \log(10)]^1$$ Como $\log(10) = 1$: $$f(-1) = 1 + 1 = 2$$ Para **$x = 3$**: $$f(3) = [3^2 + \log(3^2 - 2(3) + 7)]^{\sqrt[3]{\frac{3 - 3}{4}}}$$ $$f(3) = [9 + \log(9 - 6 + 7)]^{\sqrt[3]{0}} = [9 + \log(10)]^0$$ Cualquier número distinto de cero elevado a cero es 1: $$f(3) = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $k^0 = 1$ si $k \neq 0$. Aquí la base es $9 + 1 = 10$, por lo que es válido.

Calculamos la pendiente de la recta secante que une los puntos extremos del intervalo: $$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{f(3) - f(-1)}{3 - (-1)}$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$\frac{1 - 2}{3 + 1} = \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4}$$ Según el **Teorema del Valor Medio**, al cumplirse las hipótesis de continuidad y derivabilidad, existe al menos un punto $\alpha \in (-1, 3)$ tal que: $$f'(\alpha) = -\frac{1}{4}$$ Queda así demostrado lo solicitado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Existe } \alpha \in (-1, 3) \text{ tal que } f'(\alpha) = -\frac{1}{4}}$$