Cálculo de derivadas y simplificación

**A3) Calcula la derivada de las siguientes funciones y simplifica el resultado: $f(x) = \ln \sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{\sin 2x}}$ (1 punto)** Antes de derivar, es muy recomendable simplificar la expresión utilizando las propiedades de los logaritmos y de las raíces para facilitar el cálculo. Sabemos que $\ln(\sqrt{A}) = \ln(A^{1/2}) = \dfrac{1}{2} \ln(A)$. Aplicamos esto a nuestra función: $$f(x) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1 - \cos 2x}{\sin 2x} \right)$$ Ahora, podemos usar la propiedad del logaritmo de un cociente, $\ln\left(\frac{A}{B}\right) = \ln A - \ln B$: $$f(x) = \frac{1}{2} \left[ \ln(1 - \cos 2x) - \ln(\sin 2x) \right]$$ 💡 **Tip:** Simplificar antes de derivar funciones con logaritmos o raíces suele ahorrar mucho trabajo algebraico y reduce la probabilidad de errores.

Derivamos la expresión simplificada $f(x) = \frac{1}{2} [ \ln(1 - \cos 2x) - \ln(\sin 2x) ]$ respecto a $x$ utilizando la regla de la cadena: $$f'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{(1 - \cos 2x)'}{1 - \cos 2x} - \frac{(\sin 2x)'}{\sin 2x} \right]$$ Calculamos las derivadas internas: - $(1 - \cos 2x)' = 0 - (-\sin 2x) \cdot 2 = 2\sin 2x$ - $(\sin 2x)' = \cos 2x \cdot 2 = 2\cos 2x$ Sustituimos: $$f'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{2\sin 2x}{1 - \cos 2x} - \frac{2\cos 2x}{\sin 2x} \right]$$ Podemos sacar factor común $2$ y simplificarlo con el $1/2$ exterior: $$f'(x) = \frac{\sin 2x}{1 - \cos 2x} - \frac{\cos 2x}{\sin 2x}$$

Para simplificar la expresión, restamos las fracciones buscando un denominador común: $$f'(x) = \frac{\sin^2 2x - \cos 2x(1 - \cos 2x)}{(1 - \cos 2x)\sin 2x}$$ $$f'(x) = \frac{\sin^2 2x - \cos 2x + \cos^2 2x}{(1 - \cos 2x)\sin 2x}$$ Usamos la identidad fundamental de la trigonometría $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$f'(x) = \frac{1 - \cos 2x}{(1 - \cos 2x)\sin 2x}$$ Simplificamos el término $(1 - \cos 2x)$ en el numerador y el denominador: $$f'(x) = \frac{1}{\sin 2x}$$ ✅ **Resultado final f(x):** $$\boxed{f'(x) = \frac{1}{\sin 2x} = \csc 2x}$$

**$g(x) = \left(\frac{1}{x}\right)^{-x}$ (1 punto)** Primero, simplificamos la base de la potencia. Sabemos que $\frac{1}{x} = x^{-1}$. $$g(x) = (x^{-1})^{-x}$$ Aplicando la propiedad de potencia de una potencia $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$: $$g(x) = x^{(-1) \cdot (-x)} = x^x$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengamos una función en la base y otra en el exponente, como $u(x)^{v(x)}$, el método más estándar es aplicar logaritmos o usar la identidad $u^v = e^{v \ln u}$.

Dada $g(x) = x^x$, aplicamos logaritmos neperianos en ambos miembros: $$\ln g(x) = \ln(x^x)$$ Por las propiedades de los logaritmos: $\ln g(x) = x \ln x$. Ahora derivamos ambos miembros respecto a $x$ (usando la derivada implícita en la izquierda y la regla del producto en la derecha): $$\frac{g'(x)}{g(x)} = (x)' \ln x + x (\ln x)'$$ $$\frac{g'(x)}{g(x)} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$ Despejamos $g'(x)$ multiplicando por $g(x)$: $$g'(x) = g(x) (\ln x + 1)$$ Sustituimos $g(x)$ por su expresión original $x^x$: $$g'(x) = x^x (\ln x + 1)$$ ✅ **Resultado final g(x):** $$\boxed{g'(x) = x^x (1 + \ln x)}$$