Plano paralelo a una recta con distancia fija a otra

Para que un plano $\pi$ sea paralelo a una recta $r$, su vector normal $\vec{n}_\pi$ debe ser perpendicular al vector director de la recta $\vec{v}_r$. Por otro lado, si el plano $\pi$ debe distar una cantidad fija (3 unidades) de la recta $s$, esto implica necesariamente que la recta $s$ debe ser paralela al plano $\pi$. Si no fuesen paralelos, la recta acabaría cortando al plano (distancia 0) o alejándose de él infinitamente. Por tanto, el vector normal $\vec{n}_\pi$ también debe ser perpendicular al vector director de $s$, $\vec{v}_s$. En resumen, el vector normal del plano será el producto vectorial de los vectores directores de ambas rectas: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r \times \vec{v}_s$$ 💡 **Tip:** Si un plano es paralelo a dos rectas (o contiene a una y es paralelo a otra), su vector normal se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores directores de dichas rectas.

Extraemos los vectores directores de $r$ y $s$: **Para la recta $r$:** Está dada como intersección de dos planos. Su vector director es el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $$\vec{n}_1 = (2, 1, -2), \quad \vec{n}_2 = (0, 1, 1)$$ $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_r = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - (-2) \cdot 1) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - (-2) \cdot 0) + \mathbf{k}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 0)$$ $$\vec{v}_r = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = (3, -2, 2)$$ **Para la recta $s$:** Al estar en forma continua, el vector director son los denominadores y un punto $P_s$ se obtiene de los numeradores: $$\vec{v}_s = (1, 2, 2), \quad P_s = (-2, 1, 1)$$ $$\boxed{\vec{v}_r = (3, -2, 2), \quad \vec{v}_s = (1, 2, 2)}$$

Calculamos el vector normal $\vec{n}_\pi$ como el producto vectorial de $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_\pi = \mathbf{i}(-4 - 4) - \mathbf{j}(6 - 2) + \mathbf{k}(6 - (-2))$$ $$\vec{n}_\pi = -8\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 8\mathbf{k} = (-8, -4, 8)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional dividiendo por $-4$: $$\vec{n}_\pi = (2, 1, -2)$$ La ecuación del plano será de la forma: $$\pi \equiv 2x + y - 2z + D = 0$$

La distancia de la recta $s$ al plano $\pi$ es la distancia de cualquier punto de la recta (usaremos $P_s(-2, 1, 1)$) al plano. Esta distancia debe ser 3: $$d(s, \pi) = d(P_s, \pi) = \frac{|2(-2) + 1(1) - 2(1) + D|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = 3$$ Operamos en el numerador y denominador: $$\frac{|-4 + 1 - 2 + D|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = 3 \implies \frac{|D - 5|}{3} = 3$$ $$|D - 5| = 9$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es $d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

La ecuación $|D - 5| = 9$ tiene dos posibles soluciones: 1. $D - 5 = 9 \implies D_1 = 14$ 2. $D - 5 = -9 \implies D_2 = -4$ Esto nos da dos planos que cumplen las condiciones del enunciado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\pi_1 \equiv 2x + y - 2z + 14 = 0, \quad \pi_2 \equiv 2x + y - 2z - 4 = 0}$$