Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetros

Para estudiar el sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} a+2 & -1 & -a \\ -a-2 & 2 & a^2-a \\ a+2 & -2 & 2-2a \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a+2 & -1 & -a & -a \\ -a-2 & 2 & a^2-a & 3a-1 \\ a+2 & -2 & 2-2a & -2a \end{array}\right)$$ El primer paso para discutir el sistema según el **Teorema de Rouché-Frobenius** es calcular el determinante de la matriz $A$ para saber cuándo su rango es máximo. 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema es siempre Compatible Determinado.

Calculamos $|A|$ aplicando propiedades para simplificar los cálculos antes de desarrollar: $$|A| = \begin{vmatrix} a+2 & -1 & -a \\ -(a+2) & 2 & a^2-a \\ a+2 & -2 & 2-2a \end{vmatrix}$$ Podemos sumar la primera fila a la segunda ($F_2 \to F_2 + F_1$) y restar la primera a la tercera ($F_3 \to F_3 - F_1$): $$|A| = \begin{vmatrix} a+2 & -1 & -a \\ 0 & 1 & a^2-2a \\ 0 & -1 & 2-a \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera columna: $$|A| = (a+2) \cdot [1 \cdot (2-a) - (-1) \cdot (a^2-2a)]$$ $$|A| = (a+2) \cdot [2-a + a^2-2a] = (a+2)(a^2-3a+2)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: 1. $a+2 = 0 \implies a = -2$ 2. $a^2-3a+2 = 0 \implies a = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \implies a = 1, a = 2$ Los valores que anulan el determinante son **$a = -2$**, **$a = 1$** y **$a = 2$**.

**Caso 1: $a \neq -2$, $a \neq 1$ y $a \neq 2$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por tanto: $$\text{rango}(A) = 3 = \text{rango}(A^*) = n^{\circ} \text{ de incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. Tiene una solución única para cada valor de $a$.

**Caso 2: $a = -2$** Sustituimos $a = -2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 6 & -7 \\ 0 & -2 & 6 & 4 \end{array}\right)$$ Como la primera columna es nula, $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} = -6 - 4 = -10 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ usando los términos independientes: $$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & 6 & -7 \\ -2 & 6 & 4 \end{vmatrix} = (-24 + 28 + 24) - (-24 + 42 + 16) = 28 - 34 = -6 \neq 0$$ Como $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**.

**Caso 3: $a = 1$** Sustituimos $a = 1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & -1 & -1 \\ -3 & 2 & 0 & 2 \\ 3 & -2 & 0 & -2 \end{array}\right)$$ Observamos que la fila 2 y la fila 3 son proporcionales ($F_2 = -F_3$). Por tanto, $\text{rango}(A^*) = \text{rango}(A)$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 3 = 3 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2$$ Como el rango es menor que el número de incógnitas ($2 \lt 3$), el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**.

**Caso 4: $a = 2$** Sustituimos $a = 2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & -2 & -2 \\ -4 & 2 & 2 & 5 \\ 4 & -2 & -2 & -4 \end{array}\right)$$ Observamos en $A$ que la fila 2 y 3 son proporcionales ($F_2 = -F_3$), por lo que $\text{rango}(A) = 2$. Sin embargo, al mirar la matriz ampliada, vemos que para la columna de términos independientes no se mantiene esa proporción ($5 \neq -(-4)$). Comprobamos el rango de $A^*$ con un menor de orden 3: $$\begin{vmatrix} -1 & -2 & -2 \\ 2 & 2 & 5 \\ -2 & -2 & -4 \end{vmatrix} = (8 + 20 + 8) - (8 + 10 + 16) = 36 - 34 = 2 \neq 0$$ Como $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**.

Para resolver el sistema general (SCD), podemos usar el método de reducción sobre el sistema original: 1) $(a+2)x - y - az = -a$ 2) $(-a - 2)x + 2y + (a^2 - a)z = 3a - 1$ 3) $(a+2)x - 2y + (2 - 2a)z = -2a$ Sumamos (1) y (2): $$y + (a^2-2a)z = 2a - 1 \implies y = 2a - 1 - a(a-2)z$$ Sumamos (2) y (3): $$(a^2-3a+2)z = a - 1 \implies (a-1)(a-2)z = a-1$$ Como $a \neq 1$, podemos simplificar: $$z = \frac{1}{a-2}$$ Sustituimos $z$ para hallar $y$: $$y = 2a - 1 - a(a-2)\frac{1}{a-2} = 2a - 1 - a = a-1$$ Sustituimos en (1) para hallar $x$: $$(a+2)x - (a-1) - a\frac{1}{a-2} = -a$$ $$(a+2)x = a-1 + \frac{a}{a-2} - a = -1 + \frac{a}{a-2} = \frac{-a+2+a}{a-2} = \frac{2}{a-2}$$ $$x = \frac{2}{(a+2)(a-2)}$$ ✅ **Resultado (SCD):** $$\boxed{x = \frac{2}{a^2-4}, \quad y = a-1, \quad z = \frac{1}{a-2}}$$

Para $a = 1$, el sistema era: $$\begin{cases} 3x - y - z = -1 \\ -3x + 2y = 2 \end{cases}$$ (La tercera ecuación es redundante). Usamos un parámetro para resolver. Sea **$x = 2\lambda$** (para evitar fracciones): De la segunda ecuación: $$2y = 3(2\lambda) + 2 \implies 2y = 6\lambda + 2 \implies y = 3\lambda + 1$$ Sustituimos en la primera para hallar $z$: $$3(2\lambda) - (3\lambda + 1) - z = -1$$ $$6\lambda - 3\lambda - 1 - z = -1 \implies 3\lambda = z$$ 💡 **Tip:** En un SCI, siempre debemos expresar la solución en función de uno o más parámetros (normalmente $\lambda, \mu...$). ✅ **Resultado (SCI para a=1):** $$\boxed{\begin{cases} x = 2\lambda \\ y = 3\lambda + 1 \\ z = 3\lambda \end{cases} \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$