Estudio de extremos relativos mediante el Teorema de Bolzano

**B4) Demuestra que la siguiente función tiene un máximo relativo en el intervalo $(-1, 0)$ : $f(x) = \cos (\pi x) \cdot \ln (x^2 - 3x + 2)$** En primer lugar, analizamos el dominio de la función $f(x)$ para asegurar que es continua en el intervalo dado. La función es el producto de una función trigonométrica (continua en $\mathbb{R}$) y una función logarítmica. Para el logaritmo $\ln(x^2 - 3x + 2)$, el argumento debe ser estrictamente positivo: $$x^2 - 3x + 2 \gt 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado $x^2 - 3x + 2 = 0$: $$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \implies x_1 = 1, x_2 = 2.$$ La parábola es positiva en $(-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$. Como el intervalo $(-1, 0)$ está contenido íntegramente en $(-\infty, 1)$, la función $f(x)$ es **continua y derivable** en todo el intervalo $[-1, 0]$. 💡 **Tip:** Antes de aplicar teoremas de derivabilidad, comprueba siempre que el intervalo de estudio está dentro del dominio de la función, especialmente con logaritmos y raíces.

Para encontrar los extremos relativos, calculamos la derivada $f'(x)$ aplicando la regla del producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: Sea $u(x) = \cos(\pi x) \implies u'(x) = -\pi \sin(\pi x)$. Sea $v(x) = \ln(x^2 - 3x + 2) \implies v'(x) = \frac{2x - 3}{x^2 - 3x + 2}$. Entonces: $$f'(x) = -\pi \sin(\pi x) \cdot \ln(x^2 - 3x + 2) + \cos(\pi x) \cdot \frac{2x - 3}{x^2 - 3x + 2}$$ Esta función $f'(x)$ también es continua en el intervalo $[-1, 0]$ por ser suma y producto de funciones continuas en dicho intervalo (el denominador no se anula en este rango). $$\boxed{f'(x) = -\pi \sin(\pi x) \ln(x^2 - 3x + 2) + \frac{(2x-3)\cos(\pi x)}{x^2 - 3x + 2}}$$

Evaluamos el signo de la derivada en los extremos del intervalo $(-1, 0)$ para aplicar el **Teorema de Bolzano**: 1. En $x = -1$: $$f'(-1) = -\pi \sin(-\pi) \ln((-1)^2 - 3(-1) + 2) + \cos(-\pi) \frac{2(-1) - 3}{(-1)^2 - 3(-1) + 2}$$ Como $\sin(-\pi) = 0$ y $\cos(-\pi) = -1$: $$f'(-1) = 0 + (-1) \cdot \frac{-5}{6} = \frac{5}{6} \gt 0.$$ 2. En $x = 0$: $$f'(0) = -\pi \sin(0) \ln(0^2 - 3(0) + 2) + \cos(0) \frac{2(0) - 3}{0^2 - 3(0) + 2}$$ Como $\sin(0) = 0$ y $\cos(0) = 1$: $$f'(0) = 0 + 1 \cdot \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2} \lt 0.$$ Observamos que la derivada cambia de signo en el intervalo: **$f'(-1) \gt 0$** y **$f'(0) \lt 0$**.

Para demostrar la existencia del máximo, mencionamos los siguientes resultados teóricos: 1. **Teorema de Bolzano:** Si una función $g(x)$ es continua en $[a, b]$ y $g(a) \cdot g(b) \lt 0$, entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $g(c) = 0$. Aplicándolo a $g(x) = f'(x)$ en $[-1, 0]$: - $f'(x)$ es continua en $[-1, 0]$. - $f'(-1) = 5/6 \gt 0$ y $f'(0) = -3/2 \lt 0$. Por tanto, existe un $c \in (-1, 0)$ tal que **$f'(c) = 0$** (punto crítico). 2. **Criterio de la primera derivada para extremos:** Como $f'(x) \gt 0$ para valores a la izquierda de $c$ (cerca de $-1$) y $f'(x) \lt 0$ para valores a la derecha de $c$ (cerca de $0$), la función $f(x)$ pasa de ser creciente a ser decreciente. Esto garantiza que en $x = c$ existe un **máximo relativo**. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Existe } c \in (-1, 0) \text{ tal que } f(c) \text{ es un máximo relativo.}}$$