Continuidad de una función a trozos con parámetros

**Calcula el valor del parámetro real $a$ para que la siguiente función sea continua en todo $\mathbb{R}$** Para que la función sea continua en todo $\mathbb{R}$, primero debemos asegurar que sea continua en los intervalos donde está definida por cada rama: 1. **Rama $x \le 1$:** La función $f_1(x) = \log(x^2 + 9)$ es una función logarítmica cuyo argumento $x^2 + 9$ es siempre positivo para cualquier valor de $x$ real ($x^2 + 9 \ge 9$). Por tanto, es continua en todo su dominio de definición, en particular en $(-\infty, 1)$. 2. **Rama $x \gt 1$:** La función $f_2(x) = \frac{\cos \frac{\pi x}{2}}{a \cdot (1 - x)}$ es un cociente de funciones continuas. El único punto que podría dar problemas es donde el denominador se anula, que es $x = 1$. Como esta rama solo se aplica para $x \gt 1$, la función es continua en $(1, +\infty)$ siempre que $a \neq 0$. 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua en $\mathbb{R}$ si es continua en cada una de sus ramas y además los límites laterales coinciden en los puntos de salto entre intervalos.

Para que la función sea continua en el punto de salto $x = 1$, se debe cumplir la definición de continuidad en un punto: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$$ Calculamos el valor de la función en el punto y el límite por la izquierda usando la primera rama: $$f(1) = \log(1^2 + 9) = \log(10)$$ $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \log(1^2 + 9) = \log(10)$$ Considerando que en matemáticas de Bachillerato, si no se especifica la base, $\log$ suele representar el logaritmo decimal (base 10), tenemos: $$f(1) = \log_{10}(10) = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\log_{b}(b) = 1$. Si el ejercicio se refiriera al logaritmo natural, se escribiría como $\ln(x)$ o $Lx$.

Calculamos el límite por la derecha usando la segunda rama: $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{\cos \frac{\pi x}{2}}{a \cdot (1 - x)}$$ Al evaluar en $x = 1$: $$\lim_{x \to 1} \frac{\cos \frac{\pi}{2}}{a \cdot (1 - 1)} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: - Derivada del numerador: $\left( \cos \frac{\pi x}{2} \right)' = -\frac{\pi}{2} \sin \frac{\pi x}{2}$ - Derivada del denominador: $(a \cdot (1 - x))' = a \cdot (-1) = -a$ Sustituimos en el límite: $$\lim_{x \to 1} \frac{-\frac{\pi}{2} \sin \frac{\pi x}{2}}{-a} = \frac{-\frac{\pi}{2} \sin \frac{\pi}{2}}{-a} = \frac{-\frac{\pi}{2} \cdot 1}{-a} = \frac{\pi}{2a}$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital establece que $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ cuando hay una indeterminación $0/0$ o $\infty/\infty$.

Para que exista continuidad en $x = 1$, igualamos el valor de la función obtenido en el paso 2 con el límite obtenido en el paso 3: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies 1 = \frac{\pi}{2a}$$ Despejamos el parámetro $a$: $$2a = \pi \implies a = \frac{\pi}{2}$$ Por tanto, el valor de $a$ que hace que la función sea continua en todo $\mathbb{R}$ es $\pi/2$. Si considerásemos que $\log$ es el logaritmo natural, el resultado sería $a = \frac{\pi}{2 \ln(10)}$. Siguiendo la nomenclatura estándar de base 10: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = \frac{\pi}{2}}$$