Ecuación de la recta que pasa por un punto y corta a otras dos

Para encontrar la recta $t$ que pasa por un punto $P$ y corta a otras dos rectas $r$ y $s$, utilizaremos el método de la **intersección de dos planos**: 1. Calcularemos un plano $\pi_1$ que contenga al punto $P$ y a la recta $r$. 2. Calcularemos un plano $\pi_2$ que contenga al punto $P$ y a la recta $s$. 3. La recta buscada $t$ será la intersección de estos dos planos ($t = \pi_1 \cap \pi_2$). Al estar contenida en $\pi_1$, la recta $t$ pasará por $P$ y cortará a $r$. Al estar en $\pi_2$, pasará por $P$ y cortará a $s$. 💡 **Tip:** Este es el método más directo cuando conocemos un punto por el que debe pasar la recta que corta a otras dos.

Necesitamos un punto $Q_r$ y un vector director $\vec{v_r}$ de la recta $r$. Para el vector director, realizamos el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen $r$: $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por Sarrus: $$\vec{v_r} = \vec{i}(-2 - (-3)) - \vec{j}(2 - 0) + \vec{k}(-3 - 0) = 1\vec{i} - 2\vec{j} - 3\vec{k}$$ $$\vec{v_r} = (1, -2, -3)$$ Para el punto $Q_r$, damos un valor arbitrario a una coordenada, por ejemplo $z=0$ en el sistema: $$\begin{cases} -x + y - 0 - 1 = 0 \\ 3y - 0 + 3 = 0 \end{cases} \implies 3y = -3 \implies y = -1$$ $$-x - 1 - 1 = 0 \implies x = -2$$ $$Q_r = (-2, -1, 0)$$ $$\boxed{Q_r(-2, -1, 0), \quad \vec{v_r}(1, -2, -3)}$$

El plano $\pi_1$ pasa por $P(1, -2, -1)$ y está generado por $\vec{v_r}(1, -2, -3)$ y el vector $\vec{PQ_r}$: $$\vec{PQ_r} = Q_r - P = (-2-1, -1-(-2), 0-(-1)) = (-3, 1, 1)$$ La ecuación del plano $\pi_1$ viene dada por el determinante: $$\begin{vmatrix} x-1 & y+2 & z+1 \\ 1 & -2 & -3 \\ -3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x-1)(-2+3) - (y+2)(1-9) + (z+1)(1-6) = 0$$ $$(x-1) + 8(y+2) - 5(z+1) = 0$$ $$x - 1 + 8y + 16 - 5z - 5 = 0 \implies \pi_1 \equiv x + 8y - 5z + 10 = 0$$ $$\boxed{\pi_1 \equiv x + 8y - 5z + 10 = 0}$$

La recta $s$ está en forma continua: $s \equiv \frac{x-3}{0} = \frac{y-1}{1} = \frac{z+1}{-1}$. Extraemos directamente el punto $Q_s(3, 1, -1)$ y el vector $\vec{v_s}(0, 1, -1)$. El plano $\pi_2$ pasa por $P(1, -2, -1)$ y está generado por $\vec{v_s}(0, 1, -1)$ y el vector $\vec{PQ_s}$: $$\vec{PQ_s} = Q_s - P = (3-1, 1-(-2), -1-(-1)) = (2, 3, 0)$$ La ecuación del plano $\pi_2$ es: $$\begin{vmatrix} x-1 & y+2 & z+1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x-1)(0+3) - (y+2)(0+2) + (z+1)(0-2) = 0$$ $$3(x-1) - 2(y+2) - 2(z+1) = 0$$ $$3x - 3 - 2y - 4 - 2z - 2 = 0 \implies \pi_2 \equiv 3x - 2y - 2z - 9 = 0$$ $$\boxed{\pi_2 \equiv 3x - 2y - 2z - 9 = 0}$$

La recta $t$ es la intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$: $$t \equiv \begin{cases} x + 8y - 5z + 10 = 0 \\ 3x - 2y - 2z - 9 = 0 \end{cases}$$ El vector director $\vec{v_t}$ es el producto vectorial de los normales de ambos planos: $$\vec{v_t} = \vec{n_{\pi_1}} \times \vec{n_{\pi_2}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 8 & -5 \\ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v_t} = \vec{i}(-16 - 10) - \vec{j}(-2 - (-15)) + \vec{k}(-2 - 24)$$ $$\vec{v_t} = (-26, -13, -26)$$ Podemos simplificar el vector dividiendo por $-13$ para obtener un vector más cómodo: $$\vec{v_t} = (2, 1, 2)$$ $$\boxed{\vec{v_t}(2, 1, 2)}$$

Ya tenemos el punto $P(1, -2, -1)$ y el vector director $\vec{v_t}(2, 1, 2)$. La ecuación continua de la recta es: $$\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ Sustituyendo los valores: $$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - (-2)}{1} = \frac{z - (-1)}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{2}}$$