Determinante de producto y suma de matrices con parámetros

**B1) Calcula los valores del parámetro $t$ para que se cumpla la condición $|A \cdot B| = |A + B|$, siendo $A$ y $B$ las matrices dadas.** En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz $A$. Para simplificar el cálculo, desarrollamos por la primera fila, ya que contiene dos ceros: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & t - 1 \\ 0 & -t & t \\ t + 1 & 1 - t & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = 0 - 0 + (t - 1) \cdot \begin{vmatrix} 0 & -t \\ t + 1 & 1 - t \end{vmatrix}$$ $$|A| = (t - 1) \cdot [0 \cdot (1 - t) - (-t) \cdot (t + 1)]$$ $$|A| = (t - 1) \cdot [t(t + 1)] = t(t - 1)(t + 1)$$ Si desarrollamos el producto notable $(t-1)(t+1) = t^2 - 1$, obtenemos: $$\boxed{|A| = t^3 - t}$$

Calculamos ahora el determinante de la matriz $B$. Al igual que antes, aprovechamos la primera fila por tener ceros: $$|B| = \begin{vmatrix} t & 0 & 0 \\ t + 1 & t & t + 1 \\ 1 & t - 1 & t + 1 \end{vmatrix}$$ $$|B| = t \cdot \begin{vmatrix} t & t + 1 \\ t - 1 & t + 1 \end{vmatrix} - 0 + 0$$ Para resolver este determinante de orden 2, podemos sacar factor común $(t+1)$ de la segunda columna: $$|B| = t(t + 1) \cdot \begin{vmatrix} t & 1 \\ t - 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|B| = t(t + 1) \cdot [t \cdot 1 - 1 \cdot (t - 1)] = t(t + 1) \cdot [t - t + 1] = t(t + 1) \cdot 1$$ $$\boxed{|B| = t^2 + t}$$

Para hallar el determinante del producto, utilizaremos la propiedad de los determinantes que nos dice que el determinante del producto es el producto de los determinantes. $$|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$$ Sustituimos las expresiones obtenidas anteriormente: $$|A \cdot B| = [t(t - 1)(t + 1)] \cdot [t(t + 1)]$$ $$|A \cdot B| = t^2(t - 1)(t + 1)^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$. Esta propiedad es fundamental en álgebra lineal y ahorra mucho tiempo, evitando realizar la multiplicación de las matrices $A$ y $B$ explícitamente.

Ahora calculamos la matriz suma $A + B$ sumando los elementos correspondientes de cada matriz: $$A + B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & t - 1 \\ 0 & -t & t \\ t + 1 & 1 - t & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t & 0 & 0 \\ t + 1 & t & t + 1 \\ 1 & t - 1 & t + 1 \end{pmatrix}$$ $$A + B = \begin{pmatrix} 0 + t & 0 + 0 & (t - 1) + 0 \\ 0 + (t + 1) & -t + t & t + (t + 1) \\ (t + 1) + 1 & (1 - t) + (t - 1) & 1 + (t + 1) \end{pmatrix}$$ $$A + B = \begin{pmatrix} t & 0 & t - 1 \\ t + 1 & 0 & 2t + 1 \\ t + 2 & 0 & t + 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante $|A + B|$. Observamos que la segunda columna es completamente nula (todos sus elementos son cero). 💡 **Tip:** Si una matriz tiene una fila o columna formada íntegramente por ceros, su determinante es automáticamente $0$. $$\boxed{|A + B| = 0}$$

Finalmente, planteamos la condición del enunciado $|A \cdot B| = |A + B|$ utilizando los resultados hallados: $$t^2(t - 1)(t + 1)^2 = 0$$ Para que un producto sea cero, al menos uno de sus factores debe serlo. Analizamos cada factor: 1. $t^2 = 0 \implies \mathbf{t = 0}$ 2. $t - 1 = 0 \implies \mathbf{t = 1}$ 3. $(t + 1)^2 = 0 \implies t + 1 = 0 \implies \mathbf{t = -1}$ Por tanto, los valores de $t$ que cumplen la condición son: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{t = 0, \quad t = 1, \quad t = -1}$$