Área entre función trigonométrica y parabólica

Para encontrar los puntos de corte entre las funciones $f(x)$ y $g(x)$, debemos igualar sus expresiones: $$f(x) = g(x) \implies 1 + \cos x = \frac{-2x^2}{\pi^2} + 2$$ Reordenamos la ecuación para intentar resolverla: $$\cos x = \frac{-2x^2}{\pi^2} + 1$$ Se trata de una ecuación trascendente (mezcla funciones trigonométricas y polinómicas). En este nivel, buscamos soluciones notables o evidentes dentro del dominio típico de la función coseno, como múltiplos de $\pi$. 💡 **Tip:** Cuando veas $\pi^2$ en el denominador de un polinomio comparado con una trigonométrica, prueba siempre con valores como $0, \pi$ y $-\pi$.

Probamos los valores críticos sugeridos por la estructura de $g(x)$: 1. **Si $x = 0$**: $f(0) = 1 + \cos(0) = 1 + 1 = 2$ $g(0) = \frac{-2(0)^2}{\pi^2} + 2 = 2$ Punto: **$(0, 2)$**. 2. **Si $x = \pi$**: $f(\pi) = 1 + \cos(\pi) = 1 - 1 = 0$ $g(\pi) = \frac{-2(\pi)^2}{\pi^2} + 2 = -2 + 2 = 0$ Punto: **$(\pi, 0)$**. 3. **Si $x = -\pi$**: $f(-\pi) = 1 + \cos(-\pi) = 1 - 1 = 0$ $g(-\pi) = \frac{-2(-\pi)^2}{\pi^2} + 2 = -2 + 2 = 0$ Punto: **$(-\pi, 0)$**. Como el enunciado indica que existen exactamente tres puntos de corte, ya los hemos localizado. ✅ **Resultado (puntos de corte):** $$\boxed{(-\pi, 0), (0, 2), (\pi, 0)}$$

El área encerrada se encuentra entre $x = -\pi$ y $x = \pi$. Observamos que ambas funciones son **pares**, es decir, simétricas respecto al eje $Y$: - $f(-x) = 1 + \cos(-x) = 1 + \cos x = f(x)$ - $g(-x) = \frac{-2(-x)^2}{\pi^2} + 2 = \frac{-2x^2}{\pi^2} + 2 = g(x)$ Esto nos permite calcular el área en el intervalo $[0, \pi]$ y multiplicar el resultado por 2. Determinamos qué función está por encima en el intervalo $(0, \pi)$ evaluando un punto intermedio, por ejemplo $x = \frac{\pi}{2}$: - $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 0 = 1$ - $g\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{-2(\pi/2)^2}{\pi^2} + 2 = \frac{-2(\pi^2/4)}{\pi^2} + 2 = -\frac{1}{2} + 2 = 1.5$ Como $g(x) > f(x)$ en este intervalo, la función superior es $g(x)$. 💡 **Tip:** El área entre dos curvas se define como $\int_a^b (f_{superior} - f_{inferior}) dx$.

Planteamos la integral aprovechando la simetría: $$A = 2 \int_{0}^{\pi} [g(x) - f(x)] \, dx = 2 \int_{0}^{\pi} \left[ \left( \frac{-2x^2}{\pi^2} + 2 \right) - (1 + \cos x) \right] \, dx$$ Simplificamos la expresión dentro de la integral: $$A = 2 \int_{0}^{\pi} \left( 1 - \frac{2x^2}{\pi^2} - \cos x \right) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$F(x) = \int \left( 1 - \frac{2x^2}{\pi^2} - \cos x \right) \, dx = x - \frac{2x^3}{3\pi^2} - \sin x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en el intervalo $[0, \pi]$: $$A = 2 \left[ x - \frac{2x^3}{3\pi^2} - \sin x \right]_{0}^{\pi}$$ $$A = 2 \left[ \left( \pi - \frac{2\pi^3}{3\pi^2} - \sin \pi \right) - (0 - 0 - \sin 0) \right]$$ $$A = 2 \left[ \pi - \frac{2\pi}{3} - 0 \right] = 2 \left( \frac{3\pi - 2\pi}{3} \right) = 2 \left( \frac{\pi}{3} \right)$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{A = \frac{2\pi}{3} \text{ u}^2 \approx 2.094 \text{ u}^2}$$