Vértice de un triángulo isósceles y área

Como el tercer vértice $C$ pertenece a la recta $r$, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación de dicha recta. Expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas igualando a un parámetro $\lambda$: $$r \equiv \begin{cases} x = 3 + 2\lambda \\ y = 4 - \lambda \\ z = 4 - 2\lambda \end{cases}$$ Por tanto, el punto genérico del vértice es **$C(3+2\lambda, 4-\lambda, 4-2\lambda)$**. 💡 **Tip:** Para trabajar con puntos desconocidos sobre una recta, siempre es más sencillo usar su forma paramétrica.

El enunciado indica que el lado $AB$ es el desigual, lo que implica que las distancias $AC$ y $BC$ deben ser iguales ($AC = BC$). Calculamos los vectores $\vec{AC}$ y $\vec{BC}$: - $\vec{AC} = (3+2\lambda - 2, 4-\lambda - (-3), 4-2\lambda - 2) = (1+2\lambda, 7-\lambda, 2-2\lambda)$ - $\vec{BC} = (3+2\lambda - 0, 4-\lambda - 1, 4-2\lambda - (-2)) = (3+2\lambda, 3-\lambda, 6-2\lambda)$ Calculamos sus módulos al cuadrado para comprobar la igualdad: $|\vec{AC}|^2 = (1+2\lambda)^2 + (7-\lambda)^2 + (2-2\lambda)^2 = 1+4\lambda+4\lambda^2 + 49-14\lambda+\lambda^2 + 4-8\lambda+4\lambda^2 = 9\lambda^2 - 18\lambda + 54$ $|\vec{BC}|^2 = (3+2\lambda)^2 + (3-\lambda)^2 + (6-2\lambda)^2 = 9+12\lambda+4\lambda^2 + 9-6\lambda+\lambda^2 + 36-24\lambda+4\lambda^2 = 9\lambda^2 - 18\lambda + 54$ Observamos que $|\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2$ para cualquier valor de $\lambda$. Esto significa que **cualquier punto de la recta $r$ forma un triángulo isósceles con $A$ y $B$**, ya que la recta $r$ está contenida en el plano mediador del segmento $AB$.

El área de un triángulo definido por los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ viene dada por la fórmula: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Primero obtenemos el vector $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = (0-2, 1-(-3), -2-2) = (-2, 4, -4)$$ Ahora realizamos el producto vectorial $\vec{w} = \vec{AB} \times \vec{AC}$: $$\vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 4 & -4 \\ 1+2\lambda & 7-\lambda & 2-2\lambda \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: - Componente $\vec{i}$: $4(2-2\lambda) - (-4)(7-\lambda) = 8-8\lambda + 28-4\lambda = 36-12\lambda$ - Componente $\vec{j}$: $-[(-2)(2-2\lambda) - (-4)(1+2\lambda)] = -[-4+4\lambda + 4+8\lambda] = -12\lambda$ - Componente $\vec{k}$: $(-2)(7-\lambda) - 4(1+2\lambda) = -14+2\lambda - 4-8\lambda = -18-6\lambda$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (36-12\lambda, -12\lambda, -18-6\lambda)$$ 💡 **Tip:** Puedes simplificar el vector factorizando por 6 para facilitar el cálculo del módulo: $6(6-2\lambda, -2\lambda, -3-\lambda)$.

Sabemos que el área es $18\ u^2$, por lo que $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = 2 \cdot 18 = 36$. Usando el vector simplificado $6(6-2\lambda, -2\lambda, -3-\lambda)$: $$6 \sqrt{(6-2\lambda)^2 + (-2\lambda)^2 + (-3-\lambda)^2} = 36$$ $$\sqrt{(36-24\lambda+4\lambda^2) + 4\lambda^2 + (9+6\lambda+\lambda^2)} = 6$$ $$\sqrt{9\lambda^2 - 18\lambda + 45} = 6$$ Elevamos al cuadrado ambos lados: $$9\lambda^2 - 18\lambda + 45 = 36$$ $$9\lambda^2 - 18\lambda + 9 = 0$$ $$\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0$$ Esta es una identidad notable: $(\lambda - 1)^2 = 0$, lo que nos da una única solución: $$\lambda = 1$$

Sustituimos $\lambda = 1$ en las coordenadas del punto $C$: - $x = 3 + 2(1) = 5$ - $y = 4 - 1 = 3$ - $z = 4 - 2(1) = 2$ El vértice buscado es: $$\boxed{C \equiv (5, 3, 2)}$$