Estudio y resolución de un sistema con parámetros

**A1) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible.** Escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, identificando la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} a+1 & -1 & 1-a \\ -(a+1) & a+1 & a^2+a-2 \\ a+1 & -(a+1) & 1-a^2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a+1 & -1 & 1-a & a+1 \\ -(a+1) & a+1 & a^2+a-2 & -1 \\ a+1 & -(a+1) & 1-a^2 & 0 \end{array}\right)$$ Para estudiar el sistema según los valores de $a$, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**, por lo que primero calculamos el determinante de la matriz $A$.

Calculamos $|A|$ aplicando transformaciones elementales para simplificar el cálculo: $$|A| = \begin{vmatrix} a+1 & -1 & 1-a \\ -(a+1) & a+1 & a^2+a-2 \\ a+1 & -(a+1) & 1-a^2 \end{vmatrix}$$ Sumamos la fila 2 a la fila 3 ($F_3 \to F_3 + F_2$): $$|A| = \begin{vmatrix} a+1 & -1 & 1-a \\ -(a+1) & a+1 & a^2+a-2 \\ 0 & 0 & (a^2+a-2) + (1-a^2) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a+1 & -1 & 1-a \\ -(a+1) & a+1 & a^2+a-2 \\ 0 & 0 & a-1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera fila: $$|A| = (a-1) \begin{vmatrix} a+1 & -1 \\ -(a+1) & a+1 \end{vmatrix} = (a-1) \left[ (a+1)^2 - (a+1) \right]$$ $$|A| = (a-1) \left[ (a^2+2a+1) - (a+1) \right] = (a-1)(a^2+a) = (a-1)a(a+1) = a^3-a$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$|A| = 0 \iff a(a-1)(a+1) = 0 \implies a = 0, \; a = 1, \; a = -1$$ 💡 **Tip:** El uso de operaciones entre filas antes de calcular el determinante simplifica enormemente la expresión polinómica resultante. $$\boxed{|A| = a(a-1)(a+1)}$$

Analizamos los rangos de $A$ y $A^*$ para cada valor hallado: * **Caso 1: $a \neq 0, 1, -1$** $|A| \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n$ (nº de incógnitas). Según el Teorema de Rouché-Capelli, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. * **Caso 2: Si $a = 0$** $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right)$ Observamos que la primera fila indica $x-y+z=1$ y la tercera $x-y+z=0$, lo cual es imposible. Por tanto, $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 3$. El sistema es **Incompatible (SI)**. * **Caso 3: Si $a = 1$** $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 0 & 2 \\ -2 & 2 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 0 & 0 \end{array}\right)$ Las filas 2 y 3 son proporcionales en la parte de la matriz $A$ ($-2x+2y$ y $2x-2y$), pero al sumar $F_2+F_3$ obtenemos $0 = -1$. Por tanto, $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 3$. El sistema es **Incompatible (SI)**. * **Caso 4: Si $a = -1$** $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$ Aquí $\text{rg}(A) = 2 = \text{rg}(A^*) < 3$. El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**.

Para resolver el sistema compatible determinado, podemos usar el método de Gauss sobre las ecuaciones o la regla de Cramer. Sumando ecuaciones: 1. $(a+1)x - y + (1-a)z = a+1$ 2. $-(a+1)x + (a+1)y + (a^2+a-2)z = -1$ 3. $(a+1)x - (a+1)y + (1-a^2)z = 0$ Sumamos la ecuación (2) y la (3): $$(a^2+a-2)z + (1-a^2)z = -1 \implies (a-1)(a+2)z - (a-1)(a+1)z = -1$$ $$(a-1) [a+2 - (a+1)] z = -1 \implies (a-1) z = -1 \implies \mathbf{z = \frac{1}{1-a}}$$ Ahora sumamos la (1) y la (2): $$ay + (1-a + a^2+a-2)z = a \implies ay + (a^2-1)z = a$$ Sustituimos $z$: $$ay + (a-1)(a+1) \frac{-1}{a-1} = a \implies ay - (a+1) = a \implies ay = 2a+1 \implies \mathbf{y = \frac{2a+1}{a}}$$ Sustituimos $y$ y $z$ en la (3): $$(a+1)x = (a+1)y - (1-a^2)z = (a+1)\left(\frac{2a+1}{a}\right) - (1-a)(1+a)\frac{1}{1-a} = (a+1)\left[\frac{2a+1}{a} - 1\right]$$ Dividimos por $(a+1)$ ya que $a \neq -1$: $$x = \frac{2a+1 - a}{a} = \frac{a+1}{a} \implies \mathbf{x = \frac{a+1}{a}}$$ ✅ **Resultado SCD:** $$\boxed{x = \frac{a+1}{a}, \quad y = \frac{2a+1}{a}, \quad z = \frac{1}{1-a}}$$

Si $a = -1$, el sistema resultante es: $$\begin{cases} -y + 2z = 0 \\ -2z = -1 \end{cases}$$ De la segunda ecuación: $2z = 1 \implies \mathbf{z = 1/2}$. Sustituimos en la primera: $-y + 2(1/2) = 0 \implies -y + 1 = 0 \implies \mathbf{y = 1}$. Como la primera columna de la matriz es nula, la variable $x$ puede tomar cualquier valor real: $$\mathbf{x = \lambda, \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$ ✅ **Resultado SCI ($a = -1$):** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, 1, 1/2) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$