Probabilidad y Estadística 2019 Madrid
Probabilidad de defectos en vehículos de gama baja y alta
Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2.5 puntos.
Un concesionario dispone de vehículos de baja y alta gama, siendo los de alta gama 1/3 de las existencias. Entre los de baja gama, la probabilidad de tener un defecto de fabricación que obligue a revisarlos durante el rodaje es del 1.6 %, mientras que para los de alta gama es del 0.9 %. En un control de calidad preventa, se elige al azar un vehículo para examinarlo.
a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que el vehículo elegido resulte defectuoso.
b) (1.5 puntos) Si se comprueba que el vehículo elegido es defectuoso, calcule la probabilidad de que sea de gama baja.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que el vehículo elegido resulte defectuoso.**
Primero definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $B$: El vehículo es de gama baja.
- $A$: El vehículo es de gama alta.
- $D$: El vehículo tiene un defecto de fabricación.
- $\bar{D}$: El vehículo no tiene defectos de fabricación.
A partir del enunciado, extraemos las probabilidades:
- $P(A) = 1/3$
- $P(B) = 1 - P(A) = 1 - 1/3 = 2/3$
- $P(D|B) = 1.6\% = 0.016$
- $P(D|A) = 0.9\% = 0.009$
Representamos esta información en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para hallar la probabilidad de que un vehículo sea defectuoso, $P(D)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(D) = P(B) \cdot P(D|B) + P(A) \cdot P(D|A)$$
Sustituimos los valores numéricos:
$$P(D) = \frac{2}{3} \cdot 0.016 + \frac{1}{3} \cdot 0.009$$
$$P(D) = \frac{0.032}{3} + \frac{0.009}{3} = \frac{0.041}{3}$$
Calculamos el valor decimal aproximado:
$$P(D) \approx 0.01367$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (ser defectuoso) puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes (ser de gama baja o de gama alta).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(D) = \frac{41}{3000} \approx 0.0137}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) (1.5 puntos) Si se comprueba que el vehículo elegido es defectuoso, calcule la probabilidad de que sea de gama baja.**
Se nos pide calcular la probabilidad de que el vehículo sea de gama baja dado que ya sabemos que es defectuoso, es decir, $P(B|D)$. Para ello aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(B|D) = \frac{P(B \cap D)}{P(D)} = \frac{P(B) \cdot P(D|B)}{P(D)}$$
Ya conocemos todos los valores necesarios:
- Numerador (Probabilidad de ser de gama baja y defectuoso): $P(B) \cdot P(D|B) = \frac{2}{3} \cdot 0.016 = \frac{0.032}{3}$.
- Denominador (Probabilidad total de ser defectuoso): $P(D) = \frac{0.041}{3}$.
Sustituimos en la fórmula:
$$P(B|D) = \frac{\frac{0.032}{3}}{\frac{0.041}{3}} = \frac{0.032}{0.041} = \frac{32}{41}$$
Calculamos el valor decimal:
$$P(B|D) \approx 0.78048$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite calcular probabilidades "a posteriori", es decir, conociendo el efecto (defecto), hallar la probabilidad de la causa (gama del vehículo).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(B|D) = \frac{32}{41} \approx 0.7805}$$