Simetría, intersección de rectas y ángulos en el espacio

**a) (1 punto) Calcular el punto simétrico de $P(1, 2, 3)$ respecto de $\pi$.** Para hallar el punto simétrico $P'$ de $P(1, 2, 3)$ respecto del plano $\pi \equiv 2x + 3y - z = 4$, primero trazamos una recta $t$ que pase por $P$ y sea perpendicular a $\pi$. El vector normal del plano es $\vec{n}_\pi = (2, 3, -1)$. Este vector será el vector director de nuestra recta $t$: $$t \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\alpha \\ y = 2 + 3\alpha \\ z = 3 - \alpha \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El punto simétrico $P'$ se encuentra en la recta perpendicular al plano que pasa por $P$, a la misma distancia del plano que $P$, pero en el lado opuesto.

Calculamos el punto de intersección $M$ entre la recta $t$ y el plano $\pi$ sustituyendo las ecuaciones de la recta en la ecuación del plano: $$2(1 + 2\alpha) + 3(2 + 3\alpha) - (3 - \alpha) = 4$$ $$2 + 4\alpha + 6 + 9\alpha - 3 + \alpha = 4$$ $$14\alpha + 5 = 4 \implies 14\alpha = -1 \implies \alpha = -\frac{1}{14}$$ Ahora, hallamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\alpha$ en $t$: $$M = \left(1 + 2\left(-\frac{1}{14}\right), 2 + 3\left(-\frac{1}{14}\right), 3 - \left(-\frac{1}{14}\right)\right) = \left(\frac{12}{14}, \frac{25}{14}, \frac{43}{14}\right) = \left(\frac{6}{7}, \frac{25}{14}, \frac{43}{14}\right)$$ Este punto $M$ es el punto medio del segmento $PP'$.

Usamos la fórmula del punto medio $M = \dfrac{P + P'}{2}$ para despejar $P'$: $$P' = 2M - P$$ $$P' = 2\left(\frac{6}{7}, \frac{25}{14}, \frac{43}{14}\right) - (1, 2, 3) = \left(\frac{12}{7}, \frac{25}{7}, \frac{43}{7}\right) - (1, 2, 3)$$ $$P' = \left(\frac{12}{7} - \frac{7}{7}, \frac{25}{7} - \frac{14}{7}, \frac{43}{7} - \frac{21}{7}\right) = \left(\frac{5}{7}, \frac{11}{7}, \frac{22}{7}\right)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P' = \left(\frac{5}{7}, \frac{11}{7}, \frac{22}{7}\right)}$$

**b) (1 punto) Hallar la ecuación de la recta perpendicular al plano $\pi$, que pasa por el punto intersección de las rectas $r$ y $s$.** Primero, buscamos el punto de intersección $I = r \cap s$. Escribimos $s$ en paramétricas: $$s \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 \\ z = 3 + \lambda \end{cases}$$ Sustituimos $s$ en las ecuaciones de $r$: 1. $(1 + \lambda) + 2 - (3 + \lambda) = 0 \implies 1 + \lambda + 2 - 3 - \lambda = 0 \implies 0 = 0$ (Esto significa que $s$ está contenida en el primer plano de $r$). 2. $(1 + \lambda) + 2 + (3 + \lambda) = 2 \implies 2\lambda + 6 = 2 \implies 2\lambda = -4 \implies \lambda = -2$ Sustituyendo $\lambda = -2$ en $s$, obtenemos el punto $I$: $$I = (1 - 2, 2, 3 - 2) = (-1, 2, 1)$$ 💡 **Tip:** Para hallar la intersección de dos rectas, es cómodo tener una en paramétricas y otra en implícitas (como sistema de planos).

La recta buscada $l$ debe pasar por $I(-1, 2, 1)$ y tener la dirección del vector normal del plano $\pi \equiv 2x + 3y - z = 4$, que es $\vec{v}_l = \vec{n}_\pi = (2, 3, -1)$. Expresamos la recta en su forma paramétrica: $$l \equiv \begin{cases} x = -1 + 2\mu \\ y = 2 + 3\mu \\ z = 1 - \mu \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{l \equiv (x, y, z) = (-1, 2, 1) + \mu(2, 3, -1)}$$

**c) (0.5 puntos) Calcular el ángulo que forman entre sí las rectas $r$ y $s$.** El vector director de $s$ es directo de su ecuación: $\vec{v}_s = (1, 0, 1)$. Para el vector director de $r$, calculamos el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen: $$\vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{v}_r = [1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1]\vec{i} - [1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1]\vec{j} + [1 \cdot 1 - 1 \cdot 1]\vec{k}$$ $$\vec{v}_r = (1+1)\vec{i} - (1+1)\vec{j} + (0)\vec{k} = (2, -2, 0)$$ Podemos simplificar el vector director a $\vec{v}_r = (1, -1, 0)$.

El ángulo $\theta$ entre dos rectas viene dado por: $$\cos \theta = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{v}_s|}$$ Calculamos los módulos y el producto escalar: - $|\vec{v}_r| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$ - $|\vec{v}_s| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ - $|\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s| = |(1)(1) + (-1)(0) + (0)(1)| = 1$ $$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$ $$\theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el ángulo entre dos rectas se define siempre como el ángulo agudo, por eso usamos el valor absoluto en el producto escalar. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\theta = 60^\circ \text{ o } \frac{\pi}{3} \text{ rad}}$$