Propagación de un brote de enfermedad

**a) (1 punto) Sabiendo que inicialmente había 6 personas afectadas, calcule la función $F(t)$.** Para obtener la función $F(t)$ a partir de su derivada $F'(t)$, debemos realizar la integral indefinida de la función dada: $$F(t) = \int F'(t) \, dt = \int t^2(10 - t) \, dt$$ Primero, desarrollamos el producto dentro de la integral: $$F'(t) = 10t^2 - t^3$$ Ahora integramos término a término aplicando la regla de la potencia: $$F(t) = \int (10t^2 - t^3) \, dt = 10 \cdot \frac{t^3}{3} - \frac{t^4}{4} + C$$ $$F(t) = \frac{10t^3}{3} - \frac{t^4}{4} + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de $x^n$ es $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Para hallar el valor de la constante $C$, utilizamos el dato inicial: "inicialmente había 6 personas afectadas", lo que significa que en el tiempo $t = 0$, $F(0) = 6$. $$F(0) = \frac{10(0)^3}{3} - \frac{0^4}{4} + C = 6 \implies C = 6$$ Sustituyendo el valor de $C$ en la expresión general, obtenemos la función final: ✅ **Resultado:** $$\boxed{F(t) = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{10}{3}t^3 + 6}$$

**b) (1 punto) Calcule cuántos días después de iniciarse el brote se alcanza el número máximo de enfermos y cuál es ese número.** Para encontrar el máximo de la función $F(t)$, buscamos los puntos críticos donde su derivada es igual a cero: $$F'(t) = t^2(10 - t) = 0$$ Esto nos da dos soluciones posibles: 1. $t^2 = 0 \implies t = 0$ 2. $10 - t = 0 \implies t = 10$ Como el brote ocurre para $t \ge 0$, analizamos el signo de $F'(t)$ en los intervalos alrededor de estos puntos para determinar la monotonía: $$ \begin{array}{c|ccc} t & 0 & (0, 10) & 10 & (10, +\infty) \\ \hline t^2 & 0 & + & + & + \\ (10 - t) & + & + & 0 & - \\ \hline F'(t) & 0 & + & 0 & - \end{array} $$ Interpretación de la tabla: - En $(0, 10)$, $F'(t) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. - En $(10, +\infty)$, $F'(t) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. Por tanto, se alcanza un **máximo relativo en $t = 10$** días. 💡 **Tip:** Un máximo ocurre cuando la función pasa de crecer ($F' \gt 0$) a decrecer ($F' \lt 0$).

Calculamos ahora el número de enfermos para $t = 10$ sustituyendo en $F(t)$: $$F(10) = -\frac{10^4}{4} + \frac{10 \cdot 10^3}{3} + 6$$ $$F(10) = -\frac{10000}{4} + \frac{10000}{3} + 6 = -2500 + 3333.33... + 6$$ Para obtener el valor exacto operamos con fracciones: $$F(10) = -2500 + \frac{10000}{3} + 6 = \frac{-7500 + 10000 + 18}{3} = \frac{2518}{3} \approx 839.33$$ El número máximo de enfermos es aproximadamente 839 personas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo en } t = 10 \text{ días con } F(10) = \frac{2518}{3} \approx 839.33 \text{ enfermos}}$$

**c) (0.5 puntos) Calcule, usando el teorema de Bolzano, cuántos días dura el brote.** El brote termina cuando el número de enfermos vuelve a ser cero, es decir, buscamos la raíz de $F(t) = 0$ para $t \gt 10$. El **Teorema de Bolzano** establece que si una función $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y los signos de $f(a)$ y $f(b)$ son distintos, entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$. Nuestra función $F(t) = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{10}{3}t^3 + 6$ es un polinomio, por lo que es continua en todo $\mathbb{R}$. Probamos valores enteros de $t$ a partir del máximo ($t=10$) para encontrar un cambio de signo: - Para $t = 13$: $$F(13) = -\frac{13^4}{4} + \frac{10 \cdot 13^3}{3} + 6 = -\frac{28561}{4} + \frac{21970}{3} + 6 \approx -7140.25 + 7323.33 + 6 = 189.08 \gt 0$$ - Para $t = 14$: $$F(14) = -\frac{14^4}{4} + \frac{10 \cdot 14^3}{3} + 6 = -\frac{38416}{4} + \frac{27440}{3} + 6 \approx -9604 + 9146.66 + 6 = -451.34 \lt 0$$ Como $F(13) \gt 0$ y $F(14) \lt 0$, por el Teorema de Bolzano existe un valor $t \in (13, 14)$ tal que $F(t) = 0$. 💡 **Tip:** En el contexto del problema, esto significa que el brote se extingue entre el día 13 y el día 14. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El brote dura entre 13 y 14 días (existe } t \in (13, 14) \text{ tal que } F(t)=0)}$$