Operaciones con matrices, inversa y determinantes

**a) (1 punto) Calcular para qué valores $a \in \mathbb{R}$ se verifica $A^2 - I = 2A$.** En primer lugar, calculamos la matriz $A^2$ realizando el producto $A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1-a & 1 \\ 1 & 1+a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1-a & 1 \\ 1 & 1+a \end{pmatrix}$$ Multiplicamos filas por columnas: - Elemento (1,1): $(1-a)^2 + 1 \cdot 1 = 1 - 2a + a^2 + 1 = a^2 - 2a + 2$ - Elemento (1,2): $(1-a) \cdot 1 + 1 \cdot (1+a) = 1 - a + 1 + a = 2$ - Elemento (2,1): $1 \cdot (1-a) + (1+a) \cdot 1 = 1 - a + 1 + a = 2$ - Elemento (2,2): $1 \cdot 1 + (1+a)^2 = 1 + 1 + 2a + a^2 = a^2 + 2a + 2$ Obtenemos: $$A^2 = \begin{pmatrix} a^2 - 2a + 2 & 2 \\ 2 & a^2 + 2a + 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo en general y se realiza multiplicando los elementos de las filas de la primera por los de las columnas de la segunda.

Calculamos ambos miembros de la igualdad: 1. Miembro izquierdo ($A^2 - I$): $$A^2 - I = \begin{pmatrix} a^2 - 2a + 2 & 2 \\ 2 & a^2 + 2a + 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 - 2a + 1 & 2 \\ 2 & a^2 + 2a + 1 \end{pmatrix}$$ 2. Miembro derecho ($2A$): $$2A = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1-a & 1 \\ 1 & 1+a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 2a & 2 \\ 2 & 2 + 2a \end{pmatrix}$$ Igualamos ambas matrices elemento a elemento: $$\begin{pmatrix} a^2 - 2a + 1 & 2 \\ 2 & a^2 + 2a + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 2a & 2 \\ 2 & 2 + 2a \end{pmatrix}$$ Esto nos lleva al sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} a^2 - 2a + 1 = 2 - 2a \\ a^2 + 2a + 1 = 2 + 2a \end{cases}$$ Simplificando ambas ecuaciones, obtenemos en ambos casos: $$a^2 = 1 \implies a = \pm \sqrt{1} = \pm 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1, \quad a = -1}$$

**b) (0.75 puntos) Calcular los números reales $a$ para los que la matriz $A$ admite inversa y calcularla, cuando sea posible, en función del parámetro $a$.** Una matriz cuadrada admite inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1-a & 1 \\ 1 & 1+a \end{vmatrix} = (1-a)(1+a) - (1)(1)$$ Utilizando la identidad notable de suma por diferencia: $$|A| = (1 - a^2) - 1 = -a^2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-a^2 = 0 \implies a = 0$$ 💡 **Tip:** Una matriz es regular (tiene inversa) si $|A| \neq 0$. Si $|A| = 0$, se dice que la matriz es singular. ✅ **Resultado (Condición):** $$\boxed{\text{La matriz } A \text{ admite inversa para todo } a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

Para calcular $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$, seguimos estos pasos: 1. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: $$A_{11} = 1+a, \quad A_{12} = -1$$ $$A_{21} = -1, \quad A_{22} = 1-a$$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1+a & -1 \\ -1 & 1-a \end{pmatrix}$$ 2. Trasponemos la matriz de adjuntos (en este caso es simétrica, coincide): $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 1+a & -1 \\ -1 & 1-a \end{pmatrix}$$ 3. Aplicamos la fórmula con $|A| = -a^2$: $$A^{-1} = \frac{1}{-a^2} \begin{pmatrix} 1+a & -1 \\ -1 & 1-a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1+a}{a^2} & \frac{1}{a^2} \\ \frac{1}{a^2} & -\frac{1-a}{a^2} \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Matriz Inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1+a}{a^2} & \frac{1}{a^2} \\ \frac{1}{a^2} & \frac{a-1}{a^2} \end{pmatrix} \text{ para } a \neq 0}$$

**c) (0.75 puntos) Calcular, en función de $a$, el determinante de la matriz $(AA^t)^2$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$.** Para resolver este apartado aplicaremos las propiedades de los determinantes en lugar de operar las matrices: 1. El determinante del producto es el producto de los determinantes: $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$. 2. El determinante de la traspuesta es igual al determinante de la matriz original: $|M^t| = |M|$. 3. El determinante de una potencia es la potencia del determinante: $|M^n| = |M|^n$. Descomponemos la expresión: $$|(AA^t)^2| = |AA^t|^2 = (|A| \cdot |A^t|)^2$$ Como $|A^t| = |A|$, entonces: $$(|A| \cdot |A|)^2 = (|A|^2)^2 = |A|^4$$ Sabemos del apartado anterior que $|A| = -a^2$, por lo que sustituimos: $$|(AA^t)^2| = (-a^2)^4$$ Al elevar una potencia negativa a un exponente par, el resultado es positivo: $$(-a^2)^4 = (-1)^4 \cdot (a^2)^4 = 1 \cdot a^{2 \cdot 4} = a^8$$ 💡 **Tip:** Aplicar propiedades de determinantes ahorra mucho tiempo y reduce el riesgo de errores en cálculos matriciales complejos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|(AA^t)^2| = a^8}$$