Distribuciones de probabilidad: Binomial y Normal

**a) (1.25 puntos) Se sabe que el 40 % del total de aspirantes han sido seleccionados en el proceso. Si entre los aspirantes había un grupo de 8 amigos, calcule la probabilidad de que al menos 2 de ellos hayan sido seleccionados.** En primer lugar, definimos la variable aleatoria: $X$: número de amigos seleccionados en el proceso de selección. Se trata de una **distribución binomial**, ya que cada amigo puede ser seleccionado (éxito) o no (fracaso) de forma independiente, con una probabilidad constante. Los parámetros son: - $n = 8$ (número de ensayos o amigos). - $p = 0.40$ (probabilidad de éxito, el 40 %). - $q = 1 - p = 0.60$ (probabilidad de fracaso). Por tanto, $X \sim B(8, \, 0.40)$. 💡 **Tip:** Una distribución binomial $B(n, p)$ se aplica cuando tenemos $n$ experimentos independientes con dos posibles resultados y probabilidad de éxito $p$ constante.

Nos piden calcular la probabilidad de que al menos 2 amigos sean seleccionados, es decir, $P(X \ge 2)$. Calcular $P(X=2) + P(X=3) + \dots + P(X=8)$ es laborioso. Es mucho más sencillo utilizar el **suceso contrario**: $$P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$$ Recordamos la fórmula de la probabilidad binomial: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ 💡 **Tip:** El uso del suceso contrario es fundamental cuando nos piden expresiones del tipo "al menos..." para reducir el número de cálculos.

Calculamos las probabilidades individuales para $k=0$ y $k=1$: 1. Para $k=0$: $$P(X=0) = \binom{8}{0} \cdot 0.4^0 \cdot 0.6^8 = 1 \cdot 1 \cdot 0.016796 = 0.0168$$ 2. Para $k=1$: $$P(X=1) = \binom{8}{1} \cdot 0.4^1 \cdot 0.6^7 = 8 \cdot 0.4 \cdot 0.027993 = 0.0896$$ Sumamos ambas probabilidades: $$P(X < 2) = 0.0168 + 0.0896 = 0.1064$$ Finalmente, calculamos el suceso contrario: $$P(X \ge 2) = 1 - 0.1064 = 0.8936$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 2) = 0.8936}$$ *(Nota: Si se usan todos los decimales, el resultado exacto es 0.89362)

**b) (1.25 puntos) Las puntuaciones obtenidas por los aspirantes en el proceso de selección siguen una distribución normal, $X$, de media 5.6 y desviación típica $\sigma$. Sabiendo que la probabilidad de obtener una puntuación $X \le 8.2$ es 0.67, calcule $\sigma$.** Definimos la variable aleatoria $X$ como la puntuación obtenida. Según el enunciado: $$X \sim N(5.6, \, \sigma)$$ Se nos da el siguiente dato: $$P(X \le 8.2) = 0.67$$ Para poder trabajar con las tablas de la distribución normal estándar, debemos **tipificar** la variable $X$. 💡 **Tip:** Tipificar consiste en transformar la variable $X \sim N(\mu, \sigma)$ en una $Z \sim N(0, 1)$ mediante el cambio $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.

Tipificamos la expresión de la probabilidad: $$P(X \le 8.2) = P\left( Z \le \frac{8.2 - 5.6}{\sigma} \right) = 0.67$$ Simplificamos el numerador: $$P\left( Z \le \frac{2.6}{\sigma} \right) = 0.67$$ Ahora buscamos en la **tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$** el valor de $z$ tal que $P(Z \le z) = 0.67$. Buscando en el interior de la tabla, observamos que el valor más próximo a $0.67$ corresponde a **$z = 0.44$** (ya que $P(Z \le 0.44) \approx 0.6700$). 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, se toma el más cercano o se realiza una interpolación lineal.

Igualamos el valor tipificado con el valor obtenido de la tabla: $$\frac{2.6}{\sigma} = 0.44$$ Despejamos $\sigma$: $$\sigma = \frac{2.6}{0.44}$$ Realizamos la operación: $$\sigma \approx 5.909$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\sigma = 5.909}$$