Geometría en el espacio: planos, dependencia lineal y volúmenes

**a) (1 punto) Determinar la ecuación del plano que contiene a los tres puntos.** Para determinar la ecuación de un plano $\pi$ que contiene a tres puntos $A, B$ y $C$, necesitamos un punto (usaremos $A$) y dos vectores directores que no sean paralelos, por ejemplo $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$. Calculamos los vectores: $$\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 1, 3 - 1, -3 - 1) = (0, 2, -4)$$ $$\overrightarrow{AC} = C - A = (-3 - 1, -1 - 1, 1 - 1) = (-4, -2, 0)$$ 💡 **Tip:** Un plano queda unívocamente determinado por un punto $P_0$ y dos vectores linealmente independientes $\vec{u}$ y $\vec{v}$ que sean paralelos al plano.

El vector normal $\vec{n}$ al plano se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores directores: $$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & -4 \\ -4 & -2 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus: $$\vec{n} = \mathbf{i}(2 \cdot 0 - (-4)(-2)) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - (-4)(-4)) + \mathbf{k}(0 \cdot (-2) - 2(-4))$$ $$\vec{n} = \mathbf{i}(0 - 8) - \mathbf{j}(0 - 16) + \mathbf{k}(0 + 8) = (-8, 16, 8)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por 8 (o -8) para facilitar los cálculos. Usaremos $\vec{n}' = (1, -2, -1)$. $$\boxed{\vec{n}' = (1, -2, -1)}$$

La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal. Por tanto, nuestro plano es: $$1x - 2y - 1z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el punto $A(1, 1, 1)$ pertenezca al plano: $$1(1) - 2(1) - 1(1) + D = 0 \implies 1 - 2 - 1 + D = 0 \implies D = 2$$ La ecuación del plano es $x - 2y - z + 2 = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi: x - 2y - z + 2 = 0}$$

**b) (0.5 puntos) Obtener un punto $D$ (distinto de $A, B$ y $C$) tal que los vectores $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ y $\overrightarrow{AD}$ sean linealmente dependientes.** Tres vectores en $\mathbb{R}^3$ son linealmente dependientes si y solo si son coplanarios (están en el mismo plano). Dado que $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ definen el plano $\pi$ hallado en el apartado anterior, cualquier punto $D$ que pertenezca a dicho plano hará que el vector $\overrightarrow{AD}$ esté contenido en el plano, y por tanto, los tres vectores sean linealmente dependientes. 💡 **Tip:** Si los vectores son linealmente dependientes, el volumen del paralelepípedo que forman es 0, lo que implica que el determinante de la matriz formada por ellos es nulo.

Buscamos un punto $D(x, y, z)$ que cumpla la ecuación $x - 2y - z + 2 = 0$ y que sea distinto de $A, B$ y $C$. Si hacemos, por ejemplo, $y = 0$ y $z = 0$: $$x - 2(0) - (0) + 2 = 0 \implies x = -2$$ El punto $D(-2, 0, 0)$ pertenece al plano. Verificamos que es distinto de $A(1,1,1)$, $B(1,3,-3)$ y $C(-3,-1,1)$. ✅ **Resultado (ejemplo de punto):** $$\boxed{D(-2, 0, 0)}$$

**c) (1 punto) Encontrar un punto $P$ del eje $OX$, de modo que el volumen del tetraedro de vértices $A, B, C$ y $P$ sea igual a 1.** Un punto $P$ del eje $OX$ tiene la forma $P(x, 0, 0)$. Calculamos el vector $\overrightarrow{AP}$ necesario para el cálculo del volumen: $$\overrightarrow{AP} = P - A = (x - 1, 0 - 1, 0 - 1) = (x - 1, -1, -1)$$ Recordamos que el volumen de un tetraedro es un sexto del valor absoluto del producto mixto de los vectores que parten de un mismo vértice: $$V = \frac{1}{6} |[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AP}]|$$

Calculamos el producto mixto: $$[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AP}] = \begin{vmatrix} 0 & 2 & -4 \\ -4 & -2 & 0 \\ x-1 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila: $$= 0 - 2[(-4)(-1) - 0] + (-4)[(-4)(-1) - (-2)(x-1)]$$ $$= -2(4) - 4(4 + 2x - 2) = -8 - 4(2x + 2) = -8 - 8x - 8 = -8x - 16$$ Planteamos la ecuación del volumen: $$\frac{1}{6} |-8x - 16| = 1 \implies |-8x - 16| = 6$$ Esto nos da dos posibles casos debido al valor absoluto: 1. $-8x - 16 = 6 \implies -8x = 22 \implies x = -\frac{22}{8} = -\frac{11}{4}$ 2. $-8x - 16 = -6 \implies -8x = 10 \implies x = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4}$ ✅ **Resultado:** Existen dos puntos que cumplen la condición: $$\boxed{P_1\left(-\frac{11}{4}, 0, 0\right) \quad \text{y} \quad P_2\left(-\frac{5}{4}, 0, 0\right)}$$