Cálculo de derivadas y técnica de integración por cambio de variable

**a) (1.25 puntos) Sean $f$ y $g$ dos funciones derivables de las que se conocen los siguientes datos: $f(1) = 1, f'(1) = 2, g(1) = 3, g'(1) = 4$. Dada $h(x) = f((x + 1)^2)$, use la regla de la cadena para calcular $h'(0)$. Dada $k(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$, calcule $k'(1)$.** Para calcular la derivada de $h(x) = f((x+1)^2)$, debemos identificar la función externa $f$ y la función interna $u(x) = (x+1)^2$. La regla de la cadena nos dice que $h'(x) = f'(u(x)) \cdot u'(x)$. 1. Calculamos la derivada de la función interna: $$u'(x) = \frac{d}{dx}(x+1)^2 = 2(x+1) \cdot 1 = 2(x+1)$$ 2. Expresamos la derivada general de $h$: $$h'(x) = f'((x+1)^2) \cdot 2(x+1)$$ 3. Sustituimos $x = 0$ para hallar el valor pedido: $$h'(0) = f'((0+1)^2) \cdot 2(0+1) = f'(1) \cdot 2(1)$$ Como el enunciado indica que $f'(1) = 2$: $$h'(0) = 2 \cdot 2 = 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de la cadena para una composición $(f \circ g)(x)$ es $f'(g(x)) \cdot g'(x)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{h'(0) = 4}$$

Para la función $k(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$, aplicamos la regla de derivación de un cociente: $$k'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$$ Sustituimos $x = 1$ en la fórmula utilizando los datos proporcionados: - $f(1) = 1$ - $f'(1) = 2$ - $g(1) = 3$ - $g'(1) = 4$ $$k'(1) = \frac{f'(1) \cdot g(1) - f(1) \cdot g'(1)}{(g(1))^2} = \frac{2 \cdot 3 - 1 \cdot 4}{3^2}$$ Realizamos las operaciones: $$k'(1) = \frac{6 - 4}{9} = \frac{2}{9}$$ 💡 **Tip:** La derivada de un cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ es fundamental en el examen de selectividad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k'(1) = \frac{2}{9}}$$

**b) (1.25 puntos) Calcule la integral $\int (\text{sen } x)^4 (\cos x)^3 dx$. (Se puede usar el cambio de variables $t = \text{sen } x$.)** Queremos resolver $I = \int \text{sen}^4 x \cos^3 x \, dx$. Primero, descomponemos la potencia impar del coseno para facilitar el cambio de variable sugerido: $$\cos^3 x = \cos^2 x \cdot \cos x = (1 - \text{sen}^2 x) \cos x$$ La integral queda: $$I = \int \text{sen}^4 x (1 - \text{sen}^2 x) \cos x \, dx$$ Ahora realizamos el cambio de variable $t = \text{sen } x$: - Diferenciamos: $dt = \cos x \, dx$ Sustituimos en la integral: $$I = \int t^4 (1 - t^2) \, dt$$ 💡 **Tip:** Cuando una de las razones trigonométricas tiene exponente impar, lo mejor es reservar un factor para el diferencial (en este caso $\cos x$) y convertir el resto usando $\text{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$.

Expandimos el producto e integramos término a término: $$I = \int (t^4 - t^6) \, dt = \int t^4 \, dt - \int t^6 \, dt$$ Aplicamos la regla de integración de potencias $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}$: $$I = \frac{t^5}{5} - \frac{t^7}{7} + C$$ Finalmente, deshacemos el cambio de variable volviendo a $t = \text{sen } x$: $$I = \frac{(\text{sen } x)^5}{5} - \frac{(\text{sen } x)^7}{7} + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \text{sen}^4 x \cos^3 x \, dx = \frac{\text{sen}^5 x}{5} - \frac{\text{sen}^7 x}{7} + C}$$