Discusión de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) (2 puntos) Discutir el sistema según los valores del parámetro real $k$.** Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} k & k+1 & 1 \\ -1 & k & -1 \\ k-1 & -1 & 0 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} k & k+1 & 1 & 0 \\ -1 & k & -1 & 0 \\ k-1 & -1 & 0 & -(k+1) \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, analizando los rangos de $A$ y $A^*$ en función del parámetro $k$. 💡 **Tip:** El sistema tendrá solución única si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$ (nº de incógnitas). Si los rangos son iguales pero menores que 3, tiene infinitas soluciones. Si los rangos son distintos, no tiene solución.

Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus para encontrar los valores críticos de $k$: $$|A| = \begin{vmatrix} k & k+1 & 1 \\ -1 & k & -1 \\ k-1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [k \cdot k \cdot 0 + (k+1)(-1)(k-1) + 1(-1)(-1)] - [(k-1) \cdot k \cdot 1 + (-1)(-1)k + 0(-1)(k+1)]$$ $$|A| = [0 - (k^2 - 1) + 1] - [k^2 - k + k + 0]$$ $$|A| = -k^2 + 1 + 1 - k^2 = -2k^2 + 2$$ Igualamos el determinante a cero: $$-2k^2 + 2 = 0 \implies 2k^2 = 2 \implies k^2 = 1 \implies \mathbf{k = 1, k = -1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las propiedades de los determinantes facilitan el cálculo, pero en matrices $3 \times 3$ con parámetros, la regla de Sarrus suele ser el camino más directo.

Si $k \neq 1$ y $k \neq -1$, el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). En este caso: - $\text{rg}(A) = 3$ - Como la matriz ampliada $A^*$ contiene a $A$, su rango también debe ser 3: $\text{rg}(A^*) = 3$ - El número de incógnitas es $n = 3$. Según el Teorema de Rouché-Frobenius, al coincidir los rangos con el número de incógnitas: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } k \in \mathbb{R} \setminus \{1, -1\}, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Para $k = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -2 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-2) = 3 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ tomando el menor de las columnas 1, 2 y la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} = -2 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -2(3) = -6 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rg}(A^*) = 3$. Dado que $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } k = 1, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

Para $k = -1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \\ -2 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ Se trata de un **sistema homogéneo** (la columna de términos independientes es nula porque $-(k+1) = -(-1+1) = 0$). En todo sistema homogéneo, el rango de la matriz ampliada siempre es igual al rango de la matriz de coeficientes. Buscamos el rango de $A$ con un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Por tanto, $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2$. Al ser menor que el número de incógnitas (3): ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } k = -1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

**b) (0.5 puntos) Resolver el sistema para $k = -1$.** Como hemos visto en el apartado anterior, para $k = -1$ el sistema es Compatible Indeterminado con rango 2. Usamos las dos primeras ecuaciones, ya que el menor de orden 2 que usamos para el rango estaba ahí: $$\begin{cases} -x + z = 0 \\ -x - y - z = 0 \end{cases}$$ Parametrizamos una de las variables. Sea $x = \lambda$, donde $\lambda \in \mathbb{R}$. 1. De la primera ecuación: $z = x \implies \mathbf{z = \lambda}$ 2. De la segunda ecuación sustituimos $x$ y $z$: $-\lambda - y - \lambda = 0 \implies -2\lambda - y = 0 \implies \mathbf{y = -2\lambda}$ La solución depende del parámetro real $\lambda$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, -2\lambda, \lambda) \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}}$$