Probabilidad y Estadística 2019 Madrid
Probabilidad de mejoría y Teorema de Bayes
Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2.5 puntos.
Una compañía farmacéutica vende un medicamento que alivia la dermatitis atópica en un 80 % de los casos. Si un enfermo es tratado con un placebo, la probabilidad de mejoría espontánea es del 10 %. En un estudio experimental, la mitad de los pacientes han sido tratados con el medicamento y la otra mitad con un placebo.
a) (1 punto) Determinar cuál es la probabilidad de que un paciente elegido al azar haya mejorado.
b) (1.5 puntos) Si un paciente elegido al azar ha mejorado, hallar la probabilidad de que haya sido tratado con el medicamento.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a) (1 punto) Determinar cuál es la probabilidad de que un paciente elegido al azar haya mejorado.**
Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $M$: El paciente es tratado con el medicamento.
- $P$: El paciente es tratado con un placebo.
- $I$: El paciente mejora.
- $\bar{I}$: El paciente no mejora.
Del enunciado extraemos las siguientes probabilidades:
- Como la mitad recibe medicamento y la otra mitad placebo: $P(M) = 0,5$ y $P(P) = 0,5$.
- La probabilidad de mejorar con el medicamento es del $80\%$: $P(I|M) = 0,8$.
- La probabilidad de mejorar con el placebo es del $10\%$: $P(I|P) = 0,1$.
Representamos estos datos en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para hallar la probabilidad de que un paciente haya mejorado $P(I)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(I) = P(M) \cdot P(I|M) + P(P) \cdot P(I|P)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(I) = 0,5 \cdot 0,8 + 0,5 \cdot 0,1$$
$$P(I) = 0,4 + 0,05$$
$$P(I) = 0,45$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total nos permite calcular la probabilidad de un suceso final sumando las probabilidades de todos los caminos del árbol que llegan a dicho suceso.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(I) = 0,45}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Bayes)
**b) (1.5 puntos) Si un paciente elegido al azar ha mejorado, hallar la probabilidad de que haya sido tratado con el medicamento.**
Nos piden calcular la probabilidad de que el paciente haya sido tratado con el medicamento dado que sabemos que ha mejorado, es decir, $P(M|I)$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(M|I) = \frac{P(M) \cdot P(I|M)}{P(I)}$$
Utilizamos el valor de $P(I)$ calculado en el apartado anterior:
$$P(M|I) = \frac{0,5 \cdot 0,8}{0,45} = \frac{0,4}{0,45}$$
Simplificamos la fracción multiplicando numerador y denominador por 100:
$$P(M|I) = \frac{40}{45} = \frac{8}{9} \approx 0,8889$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza para calcular probabilidades "a posteriori", es decir, cuando ya conocemos el resultado final (ha mejorado) y queremos saber la causa probable (medicamento).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(M|I) = \frac{8}{9} \approx 0,8889}$$