Estudio de una función con raíz y límites laterales

**a) (0.5 puntos) Determinar su dominio.** La función $f(x) = \sqrt{4x^2 - x^4}$ es una función raíz cuadrada. Para que esté definida, el radicando (lo que está dentro de la raíz) debe ser mayor o igual a cero: $$4x^2 - x^4 \ge 0$$ Factorizamos la expresión para encontrar los puntos de corte: $$x^2(4 - x^2) \ge 0$$ $$x^2(2 - x)(2 + x) \ge 0$$ Como $x^2$ siempre es mayor o igual a cero para cualquier $x \in \mathbb{R}$, el signo del producto depende exclusivamente de $(4 - x^2)$. Resolvemos la inecuación: $$4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies |x| \le 2$$ Esto nos indica que $x$ debe estar en el intervalo cerrado $[-2, 2]$. 💡 **Tip:** Recuerda que las raíces de índice par solo admiten valores no negativos en su interior. Si el radicando fuera negativo, la función no tendría valores reales. ✅ **Resultado (dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = [-2, 2]}$$

**b) (1.5 puntos) Determinar sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.** Para estudiar la monotonía, primero calculamos la derivada de la función $f(x) = (4x^2 - x^4)^{1/2}$ usando la regla de la cadena: $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4x^2 - x^4}} \cdot (8x - 4x^3)$$ Simplificamos la expresión: $$f'(x) = \frac{4x(2 - x^2)}{\sqrt{x^2(4 - x^2)}} = \frac{4x(2 - x^2)}{|x|\sqrt{4 - x^2}}$$ 💡 **Tip:** Ten en cuenta que $\sqrt{x^2} = |x|$. Esto es fundamental para analizar el signo de la derivada cerca de $x=0$, ya que la derivada no existirá en ese punto al anularse el denominador.

Buscamos los valores de $x$ donde $f'(x) = 0$ dentro del dominio $(-2, 2)$: $$4x(2 - x^2) = 0 \implies x = 0, \quad x = \sqrt{2}, \quad x = -\sqrt{2}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos delimitados por estos puntos críticos y los extremos del dominio: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-2, -\sqrt{2}) & -\sqrt{2} & (-\sqrt{2}, 0) & 0 & (0, \sqrt{2}) & \sqrt{2} & (\sqrt{2}, 2) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & + & 0 & - \end{array}$$ - En $(-2, -\sqrt{2})$: Tomamos $x = -1.5$, $f'(-1.5) > 0 \implies$ **Creciente**. - En $(-\sqrt{2}, 0)$: Tomamos $x = -1$, $f'(-1) < 0 \implies$ **Decreciente**. - En $(0, \sqrt{2})$: Tomamos $x = 1$, $f'(1) > 0 \implies$ **Creciente**. - En $(\sqrt{2}, 2)$: Tomamos $x = 1.5$, $f'(1.5) < 0 \implies$ **Decreciente**.

Basándonos en el análisis anterior, definimos los intervalos finales. ✅ **Resultado (monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} & \text{Creciente en: } (-2, -\sqrt{2}) \cup (0, \sqrt{2}) \\ & \text{Decreciente en: } (-\sqrt{2}, 0) \cup (\sqrt{2}, 2) \end{aligned}}$$ *Nota: Los puntos $x = \pm \sqrt{2}$ son máximos relativos y $x = 0$ es un mínimo relativo.*

**c) (0.5 puntos) Calcular los límites laterales $\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x)}{x}$, $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x}$.** Sustituimos la expresión de $f(x)$: $$\frac{f(x)}{x} = \frac{\sqrt{4x^2 - x^4}}{x} = \frac{\sqrt{x^2(4 - x^2)}}{x} = \frac{|x|\sqrt{4 - x^2}}{x}$$ Para el límite por la derecha ($x \to 0^+$), tenemos que $|x| = x$: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x\sqrt{4 - x^2}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 0^2} = 2$$ Para el límite por la izquierda ($x \to 0^-$), tenemos que $|x| = -x$: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{-x\sqrt{4 - x^2}}{x} = \lim_{x \to 0^-} -\sqrt{4 - x^2} = -\sqrt{4 - 0^2} = -2$$ 💡 **Tip:** Recuerda la definición de valor absoluto: $|x| = x$ si $x \ge 0$ y $|x| = -x$ si $x \lt 0$. Esto es lo que provoca la diferencia de signo en los límites laterales. ✅ **Resultado (límites):** $$\boxed{\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x)}{x} = -2, \quad \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = 2}$$