Problema de precios en cafetería: Sistemas de ecuaciones

**¿Cuáles eran los respectivos precios sin descuento de un bocadillo, de un refresco y de una bolsa de patatas?** En primer lugar, definimos las incógnitas que representan los precios unitarios (sin descuento) de cada producto: - $x$: precio de un bocadillo en euros (€). - $y$: precio de un refresco en euros (€). - $z$: precio de una bolsa de patatas en euros (€). Organizamos la información en una tabla para mayor claridad: $$\begin{array}{|l|c|} \hline \text{Producto} & \text{Variable (Precio en €)} \\ \hline \text{Bocadillo} & x \\ \hline \text{Refresco} & y \\ \hline \text{Bolsa de patatas} & z \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** Definir claramente las variables es el primer paso fundamental en cualquier problema de álgebra de Bachillerato.

Traducimos el enunciado al lenguaje algebraico para obtener tres ecuaciones: 1. **La cuenta original y el error:** La estudiante pidió 3 bocadillos, 2 refrescos y 2 bolsas, pero le cobraron un bocadillo y una bolsa de más. Esto significa que en el ticket de 19 € figuraban realmente $3+1=4$ bocadillos, 2 refrescos y $2+1=3$ bolsas de patatas. $$4x + 2y + 3z = 19$$ 2. **La devolución:** Le devolvieron 4 € por el bocadillo y la bolsa cobrados de más. $$x + z = 4$$ 3. **El descuento en la oferta:** Un bocadillo y un refresco cuestan 3 € con un 40 % de descuento. Esto significa que 3 € es el 60 % (es decir, $1 - 0,40 = 0,60$) del precio original $(x + y)$. $$0,6(x + y) = 3 \implies x + y = \frac{3}{0,6} = 5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que aplicar un descuento del $d\%$ equivale a multiplicar por $(1 - d/100)$. En este caso, $1 - 0,40 = 0,60$. El sistema a resolver es: $$\begin{cases} 4x + 2y + 3z = 19 \\ x + z = 4 \\ x + y = 5 \end{cases}$$

Utilizaremos el método de sustitución, ya que las dos últimas ecuaciones permiten despejar variables fácilmente en función de $x$: De la segunda ecuación: $$z = 4 - x$$ De la tercera ecuación: $$y = 5 - x$$ Sustituimos estas expresiones en la primera ecuación: $$4x + 2(5 - x) + 3(4 - x) = 19$$ Ahora, resolvemos la ecuación de primer grado resultante: $$4x + 10 - 2x + 12 - 3x = 19$$ Agrupamos los términos con $x$ y los términos independientes: $$(4 - 2 - 3)x + (10 + 12) = 19$$ $$-x + 22 = 19$$ $$-x = 19 - 22$$ $$-x = -3 \implies \mathbf{x = 3}$$ 💡 **Tip:** Cuando dos ecuaciones del sistema relacionan solo dos variables de forma sencilla, la sustitución suele ser más rápida y menos propensa a errores que el método de Gauss.

Una vez obtenido el valor de $x = 3$, calculamos los valores de $y$ y $z$ sustituyendo en las expresiones despejadas anteriormente: **Precio del refresco (y):** $$y = 5 - x = 5 - 3 = 2$$ $$\mathbf{y = 2 \text{ €}}$$ **Precio de la bolsa de patatas (z):** $$z = 4 - x = 4 - 3 = 1$$ $$\mathbf{z = 1 \text{ €}}$$ **Comprobación:** Sustituimos en la primera ecuación para verificar: $4(3) + 2(2) + 3(1) = 12 + 4 + 3 = 19$. ¡Es correcto! ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Bocadillo: } & 3 \text{ €} \\ \text{Refresco: } & 2 \text{ €} \\ \text{Bolsa de patatas: } & 1 \text{ €} \end{aligned}}$$