Distribución Binomial y aproximación a la Normal

**a) (1 punto) Si en un acuario tenemos 10 peces de esta especie nacidos este año, hallar la probabilidad de que al menos dos de ellos sigan vivos dentro de 5 años.** Sea $X$ la variable aleatoria que cuenta el número de peces que sobreviven más de 5 años. Se trata de un experimento de Bernoulli (sobrevive o no sobrevive) que se repite $n=10$ veces de forma independiente. La probabilidad de éxito (sobrevivir) es $p = 10\% = 0.1$. Por tanto, $X$ sigue una distribución Binomial: $$X \sim B(10, \, 0.1)$$ Queremos calcular la probabilidad de que sobrevivan al menos dos, es decir: $P(X \ge 2)$. 💡 **Tip:** En una distribución binomial $B(n, p)$, la probabilidad de obtener exactamente $k$ éxitos es $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.

Calcular $P(X \ge 2)$ directamente implicaría sumar $P(X=2) + P(X=3) + \dots + P(X=10)$. Es mucho más sencillo utilizar el suceso contrario: $$P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$$ Calculamos cada término: - Para $k=0$: $$P(X=0) = \binom{10}{0} (0.1)^0 (0.9)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot 0.3487 = 0.3487$$ - Para $k=1$: $$P(X=1) = \binom{10}{1} (0.1)^1 (0.9)^9 = 10 \cdot 0.1 \cdot 0.3874 = 0.3874$$ Sumamos ambas probabilidades: $$P(X < 2) = 0.3487 + 0.3874 = 0.7361$$ Finalmente: $$P(X \ge 2) = 1 - 0.7361 = 0.2639$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{P(X \ge 2) = 0.2639}$$

**b) (1.5 puntos) Si en un tanque de una piscifactoría hay 200 peces de esta especie nacidos este mismo año, usando una aproximación mediante la distribución normal correspondiente, hallar la probabilidad de que al cabo de 5 años hayan sobrevivido al menos 10 de ellos.** Ahora tenemos una muestra mayor, $n=200$, con la misma probabilidad de éxito $p=0.1$. La variable es $X \sim B(200, \, 0.1)$. Para aproximar por una Normal $N(\mu, \sigma)$, debemos comprobar que: 1. $n \cdot p = 200 \cdot 0.1 = 20 \gt 5$ 2. $n \cdot (1-p) = 200 \cdot 0.9 = 180 \gt 5$ Como se cumplen ambas condiciones, podemos realizar la aproximación. 💡 **Tip:** Una binomial $B(n, p)$ se puede aproximar por una normal $N(\mu, \sigma)$ donde $\mu = np$ y $\sigma = \sqrt{npq}$ si $np > 5$ y $nq > 5$.

Calculamos la media $\mu$ y la desviación típica $\sigma$: $$\mu = n \cdot p = 200 \cdot 0.1 = 20$$ $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{200 \cdot 0.1 \cdot 0.9} = \sqrt{18} \approx 4.2426$$ Por tanto, aproximamos $X$ mediante una variable normal $Y \sim N(20, \, 4.2426)$.

Queremos hallar $P(X \ge 10)$. Al pasar de una variable discreta a una continua, aplicamos la **corrección de continuidad de Yates**: $$P(X \ge 10) \approx P(Y \ge 9.5)$$ Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante el cambio $Z = \frac{Y - \mu}{\sigma}$: $$P(Y \ge 9.5) = P\left( Z \ge \frac{9.5 - 20}{4.2426} \right) = P(Z \ge -2.4748)$$ Redondeamos a dos decimales para buscar en la tabla: $P(Z \ge -2.47)$. 💡 **Tip:** Recuerda que para el cálculo de probabilidades en la Normal, por simetría: $P(Z \ge -a) = P(Z \le a)$.

Utilizando las propiedades de la tabla $N(0, 1)$: $$P(Z \ge -2.47) = P(Z \le 2.47)$$ Buscando el valor $2.47$ en la tabla de la distribución normal estándar: $$P(Z \le 2.47) = 0.9932$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{P(X \ge 10) \approx 0.9932}$$