Posición relativa de rectas y ecuaciones de planos

**a) (1 punto) Estudiar la posición relativa de las dos rectas.** Primero, identificamos un punto y un vector director de cada recta: Para la recta $r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{-2} = \frac{z}{1}$: - Punto $P_r = (1, 3, 0)$ - Vector director $\vec{v}_r = (2, -2, 1)$ Para la recta $s$ (definida por un punto y un vector en el enunciado): - Punto $P_s = (2, -5, 1)$ - Vector director $\vec{v}_s = (-1, 0, -1)$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Comprobamos si los vectores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ son paralelos comparando sus componentes: $$\frac{2}{-1} \neq \frac{-2}{0}$$ Como las componentes no son proporcionales, los vectores son linealmente independientes. Esto significa que las rectas **se cortan en un punto** o **se cruzan en el espacio**.

Para distinguir si se cortan o se cruzan, calculamos el determinante formado por los vectores directores y el vector que une ambos puntos $\vec{P_r P_s}$. Calculamos $\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (2-1, -5-3, 1-0) = (1, -8, 1)$. Ahora resolvemos el determinante por la regla de Sarrus: $$\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 2 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & -8 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\Delta = [ (2 \cdot 0 \cdot 1) + (-2 \cdot -1 \cdot 1) + (1 \cdot -1 \cdot -8) ] - [ (1 \cdot 0 \cdot 1) + (-2 \cdot -1 \cdot 1) + (2 \cdot -1 \cdot -8) ]$$ $$\Delta = [ 0 + 2 + 8 ] - [ 0 + 16 + 2 ] = 10 - 18 = -8$$ Como el determinante es distinto de cero ($-8 \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. Esto implica que las rectas no están en el mismo plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**b) (1 punto) Calcular un plano que sea paralelo a $r$ y contenga a $s$.** Si un plano $\pi$ contiene a la recta $s$, debe pasar por el punto $P_s(2, -5, 1)$ y tener como uno de sus vectores directores a $\vec{v}_s(-1, 0, -1)$. Si además es paralelo a la recta $r$, su segundo vector director debe ser $\vec{v}_r(2, -2, 1)$. El vector normal al plano $\vec{n}_\pi$ se obtiene mediante el producto vectorial de ambos vectores: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{n}_\pi = \mathbf{i}[(-2) \cdot (-1) - 0 \cdot 1] - \mathbf{j}[2 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1] + \mathbf{k}[2 \cdot 0 - (-1) \cdot (-2)]$$ $$\vec{n}_\pi = \mathbf{i}[2 - 0] - \mathbf{j}[-2 + 1] + \mathbf{k}[0 - 2] = 2\mathbf{i} + 1\mathbf{j} - 2\mathbf{k} = (2, 1, -2)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular a ambos, ideal para hallar el vector normal de un plano.

Utilizamos la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C) = (2, 1, -2)$: $$2x + y - 2z + D = 0$$ Como el plano contiene a $s$, debe pasar por el punto $P_s(2, -5, 1)$: $$2(2) + (-5) - 2(1) + D = 0 \implies 4 - 5 - 2 + D = 0 \implies -3 + D = 0 \implies D = 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi \equiv 2x + y - 2z + 3 = 0}$$

**c) (0.5 puntos) Calcular un plano perpendicular a la recta $r$ y que pase por el origen de coordenadas.** Si el plano es perpendicular a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}_r(2, -2, 1)$ será el vector normal del plano $\vec{n}$. Por tanto, la ecuación del plano será de la forma: $$2x - 2y + z + D = 0$$ Como el plano debe pasar por el origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$, sustituimos para hallar $D$: $$2(0) - 2(0) + 1(0) + D = 0 \implies D = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{2x - 2y + z = 0}$$