Estudio de asíntotas, extremos relativos e integración de la función logarítmica

**a) (0.5 puntos) Calcular, en caso de que exista, una asíntota horizontal de la curva $y = f(x)$.** Para hallar la asíntota horizontal, calculamos el límite de la función cuando $x \to +\infty$ (ya que el dominio es $x > 0$): $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}$$ Al evaluar, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando el numerador y el denominador por separado: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} \stackrel{L'H}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$$ 💡 **Tip:** Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$, la recta $y = L$ es una asíntota horizontal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 0 \text{ es la asíntota horizontal cuando } x \to +\infty}$$

**b) (1 punto) Encontrar un punto de la curva $y = f(x)$ en el que la recta tangente a dicha curva sea horizontal y analizar si dicho punto es un extremo relativo.** Una recta tangente es horizontal si su pendiente es cero, es decir, si $f'(x) = 0$. Derivamos $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(\ln(x))' \cdot x - \ln(x) \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$$ Igualamos la derivada a cero: $$\frac{1 - \ln(x)}{x^2} = 0 \implies 1 - \ln(x) = 0 \implies \ln(x) = 1 \implies x = e$$ La ordenada del punto es $f(e) = \frac{\ln(e)}{e} = \frac{1}{e}$. El punto buscado es: $$\boxed{P\left(e, \frac{1}{e}\right)}$$

Para analizar si el punto $x = e$ es un máximo o mínimo relativo, estudiamos el signo de la primera derivada $f'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$ a ambos lados del punto crítico en su dominio $(0, +\infty)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, e) & e & (e, +\infty) \\ \hline 1 - \ln(x) & + & 0 & - \\ x^2 & + & + & + \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \text{Monotonía} & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ - En el intervalo $(0, e)$, elegimos $x=1$: $f'(1) = \frac{1-\ln(1)}{1^2} = 1 > 0$ (crece). - En el intervalo $(e, +\infty)$, elegimos $x=e^2$: $f'(e^2) = \frac{1-\ln(e^2)}{e^4} = \frac{1-2}{e^4} = -\frac{1}{e^4} < 0$ (decrece). 💡 **Tip:** Como la función pasa de ser creciente a decreciente en $x = e$, existe un máximo relativo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El punto } P(e, 1/e) \text{ es un máximo relativo}}$$

**c) (1 punto) Calcular el área del recinto acotado limitado por la curva $y = f(x)$ y las rectas $y = 0$ y $x = e$.** Primero, buscamos el punto de corte de la curva con el eje $OX$ ($y = 0$): $$\frac{\ln(x)}{x} = 0 \implies \ln(x) = 0 \implies x = 1$$ El recinto está limitado por $x = 1$, $x = e$ y el eje de abscisas. Como en el intervalo $(1, e)$ la función $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ es positiva (ya que $\ln(x) > 0$ para $x > 1$), el área es: $$A = \int_{1}^{e} \frac{\ln(x)}{x} \, dx$$ 💡 **Tip:** El área de una región entre una curva positiva y el eje $OX$ se calcula mediante la integral definida entre los puntos de corte o límites dados.

Para resolver la integral, observamos que $\frac{1}{x}$ es la derivada de $\ln(x)$. Utilizamos una integral inmediata del tipo $\int u^n u' \, dx = \frac{u^{n+1}}{n+1}$: $$\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx = \int (\ln x)^1 \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $1$ y $e$: $$A = \left[ \frac{(\ln x)^2}{2} \right]_{1}^{e} = \frac{(\ln e)^2}{2} - \frac{(\ln 1)^2}{2} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 0.5 \text{ u}^2}$$