Rango de una matriz con parámetros y matriz inversa

**a) (1.5 puntos) Estudiar el rango de $A$ en función del parámetro real $a$.** La matriz $A$ tiene dimensiones $3 \times 4$, por lo que el rango máximo que puede alcanzar es 3. El rango será el orden del mayor menor no nulo que podamos encontrar. Elegimos el menor formado por las tres primeras columnas para estudiar cuándo su determinante se anula: $$|A_{123}| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & a & 2 \\ -1 & 2 & a \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes. Si encontramos un determinante de orden $n$ distinto de cero, el rango es al menos $n$.

Aplicamos la regla de Sarrus para desarrollar el determinante: $$|A_{123}| = (1 \cdot a \cdot a + 3 \cdot 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 1 \cdot 2) - (4 \cdot a \cdot (-1) + 3 \cdot 1 \cdot a + 1 \cdot 2 \cdot 2)$$ $$|A_{123}| = (a^2 - 6 + 8) - (-4a + 3a + 4)$$ $$|A_{123}| = (a^2 + 2) - (-a + 4)$$ $$|A_{123}| = a^2 + a - 2$$ Para estudiar el rango, igualamos a cero: $$a^2 + a - 2 = 0$$ Resolviendo la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies a_1 = 1, \quad a_2 = -2$$ Esto nos indica que para cualquier valor de **$a \neq 1$ y $a \neq -2$**, el determinante es distinto de cero y el **$\text{rg}(A) = 3$**.

Si **$a = 1$**, la matriz $A$ es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Observamos que la primera y la cuarta columna son idénticas ($C_1 = C_4$), por lo que cualquier menor de orden 3 que incluya a ambas será cero. Como ya sabemos que $|A_{123}| = 0$, todos los menores de orden 3 son nulos. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 3 = -2 \neq 0$$ Por tanto, si **$a = 1$**, el **$\text{rg}(A) = 2$**.

Si **$a = -2$**, la matriz $A$ es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & 2 & 4 \\ -1 & 2 & -2 & -4 \end{pmatrix}$$ Observamos que la fila 3 es opuesta a la fila 2 ($F_3 = -F_2$). Esto significa que las filas no son linealmente independientes y el rango no puede ser 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 3 = -5 \neq 0$$ Por tanto, si **$a = -2$**, el **$\text{rg}(A) = 2$**. ✅ **Resultado (Rango de A):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq 1 \text{ y } a \neq -2, & \text{rg}(A) = 3 \\ \text{Si } a = 1 \text{ o } a = -2, & \text{rg}(A) = 2 \end{cases}}$$

**b) (1 punto) Calcular, si es posible, la inversa de la matriz $AM$ para el caso $a = 0$.** Primero, calculamos la matriz $A$ para $a = 0$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}$$ Calculamos el producto $AM$: $$AM = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Multiplicar por una matriz como $M$ (con columnas de la identidad) equivale a seleccionar las columnas 1, 2 y 4 de la matriz $A$.

Para que la matriz sea inversible, su determinante debe ser distinto de cero. $$|AM| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = (0 - 6 + 2) - (0 + 4 - 6) = -4 - (-2) = -2$$ Como $|AM| = -2 \neq 0$, la matriz **es inversible**. 💡 **Tip:** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es no nulo ($|B| \neq 0$).

Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(AM)$ calculando el cofactor de cada elemento: $C_{11} = + \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -4, \quad C_{12} = - \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = 0, \quad C_{13} = + \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2$ $C_{21} = - \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = 8, \quad C_{22} = + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -1, \quad C_{23} = - \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = -5$ $C_{31} = + \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 6, \quad C_{32} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1, \quad C_{33} = + \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -3$ Obtenemos: $$\text{Adj}(AM) = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 2 \\ 8 & -1 & -5 \\ 6 & -1 & -3 \end{pmatrix}$$

La matriz inversa se define como $(AM)^{-1} = \frac{1}{|AM|} (\text{Adj}(AM))^T$. Transponemos la matriz de adjuntos: $$(\text{Adj}(AM))^T = \begin{pmatrix} -4 & 8 & 6 \\ 0 & -1 & -1 \\ 2 & -5 & -3 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos por $\frac{1}{-2}$: $$(AM)^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -4 & 8 & 6 \\ 0 & -1 & -1 \\ 2 & -5 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 & -3 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \\ -1 & 5/2 & 3/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Matriz inversa):** $$\boxed{(AM)^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -4 & -3 \\ 0 & 0.5 & 0.5 \\ -1 & 2.5 & 1.5 \end{pmatrix}}$$