Probabilidad y Estadística 2019 Murcia
Probabilidad de fabricación y defectos. Teorema de la Probabilidad Total y Bayes
B.4: (En este ejercicio trabaje con 4 decimales, redondeando el resultado al cuarto decimal).
El 60% de los coches de una marca se fabrican en su factoría de Valencia, el 25% en Madrid, y el resto en Lisboa. El 1% de los coches fabricados en Valencia tiene algún defecto de fabricación, mientras que para los coches fabricados en Madrid y en Lisboa estos porcentajes son del 0,5% y del 2%, respectivamente.
a) [1 p.] Elegido al azar un coche de esa marca, calcule la probabilidad de que no sea defectuoso.
b) [1,5 p.] Si un coche de esa marca resulta ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en Madrid?
Paso 1
Definición de sucesos y esquema de árbol
Para resolver este problema, lo primero es definir los sucesos que intervienen basándonos en las factorías y la presencia de defectos:
* $V$: El coche ha sido fabricado en Valencia.
* $M$: El coche ha sido fabricado en Madrid.
* $L$: El coche ha sido fabricado en Lisboa.
* $D$: El coche es defectuoso.
* $\bar{D}$: El coche no es defectuoso.
Extraemos los datos del enunciado:
* $P(V) = 0,60$
* $P(M) = 0,25$
* $P(L) = 1 - (0,60 + 0,25) = 0,15$
Las probabilidades condicionadas (defectos según origen) son:
* $P(D|V) = 0,01 \implies P(\bar{D}|V) = 0,99$
* $P(D|M) = 0,005 \implies P(\bar{D}|M) = 0,995$
* $P(D|L) = 0,02 \implies P(\bar{D}|L) = 0,98$
Representamos esta información en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de que no sea defectuoso
**a) [1 p.] Elegido al azar un coche de esa marca, calcule la probabilidad de que no sea defectuoso.**
Para calcular $P(\bar{D})$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. La probabilidad de que un coche no sea defectuoso es la suma de las probabilidades de ser no defectuoso en cada una de las tres factorías:
$$P(\bar{D}) = P(V) \cdot P(\bar{D}|V) + P(M) \cdot P(\bar{D}|M) + P(L) \cdot P(\bar{D}|L)$$
Sustituimos los valores obtenidos del esquema:
$$P(\bar{D}) = 0,60 \cdot 0,99 + 0,25 \cdot 0,995 + 0,15 \cdot 0,98$$
$$P(\bar{D}) = 0,5940 + 0,24875 + 0,1470$$
$$P(\bar{D}) = 0,98975$$
Redondeando a cuatro decimales como indica el enunciado:
$$P(\bar{D}) \approx 0,9898$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que parten de un mismo nodo siempre debe ser 1.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{D}) = 0,9898}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Bayes)
**b) [1,5 p.] Si un coche de esa marca resulta ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en Madrid?**
Se nos pide la probabilidad condicionada $P(M|D)$. Para ello utilizaremos el **Teorema de Bayes**:
$$P(M|D) = \frac{P(M) \cdot P(D|M)}{P(D)}$$
Primero necesitamos $P(D)$. Como $P(D) + P(\bar{D}) = 1$, podemos calcularlo como:
$$P(D) = 1 - P(\bar{D}) = 1 - 0,98975 = 0,01025$$
Ahora aplicamos la fórmula de Bayes:
$$P(M|D) = \frac{0,25 \cdot 0,005}{0,01025} = \frac{0,00125}{0,01025}$$
Calculamos la división:
$$P(M|D) \approx 0,121951...$$
Redondeando al cuarto decimal:
$$P(M|D) \approx 0,1220$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa cuando conocemos el resultado final (el coche es defectuoso) y queremos saber la probabilidad de una causa previa (fue fabricado en Madrid).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(M|D) = 0,1220}$$