Vértices de un triángulo y área en el espacio

**a) [1 p.] Calcule la ecuación de la recta $r$ que pasa por el punto $B$ y es perpendicular al plano $\pi$.** Si la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser paralelo al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. De la ecuación del plano $\pi : 2x-y+z = 1$, extraemos el vector normal: $$\vec{n}_\pi = (2, -1, 1)$$ Por tanto, tomamos como vector director de la recta: $$\vec{v}_r = (2, -1, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación general de un plano $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector normal es $\vec{n} = (A, B, C)$.

La recta $r$ pasa por el punto $B = (1, 1, 1)$ y tiene dirección $\vec{v}_r = (2, -1, 1)$. Podemos expresar la recta en su forma paramétrica: $$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases} \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{r: (x,y,z) = (1,1,1) + \lambda(2,-1,1)}$$

**b) [1,5 p.] Calcule las coordenadas del vértice $C$ sabiendo que el área del triángulo es $3\sqrt{30}$.** Como el punto $C$ está en la recta $r$, sus coordenadas dependen del parámetro $\lambda$: $$C = (1 + 2\lambda, 1 - \lambda, 1 + \lambda)$$ Para calcular el área del triángulo $\triangle ABC$, necesitamos los vectores que parten de un vértice, por ejemplo $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = B - A = (1, 1, 1) - (0, -1, 1) = (1, 2, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (1 + 2\lambda - 0, 1 - \lambda - (-1), 1 + \lambda - 1) = (1 + 2\lambda, 2 - \lambda, \lambda)$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$ viene dada por la fórmula: $Area = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

Calculamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 1+2\lambda & 2-\lambda & \lambda \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus o por adjuntos de la primera fila: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \mathbf{i}(2\lambda - 0) - \mathbf{j}(\lambda - 0) + \mathbf{k}(2 - \lambda - 2(1 + 2\lambda))$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = 2\lambda \mathbf{i} - \lambda \mathbf{j} + (2 - \lambda - 2 - 4\lambda) \mathbf{k}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (2\lambda, -\lambda, -5\lambda)$$ El módulo de este vector es: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(2\lambda)^2 + (-\lambda)^2 + (-5\lambda)^2} = \sqrt{4\lambda^2 + \lambda^2 + 25\lambda^2} = \sqrt{30\lambda^2} = |\lambda|\sqrt{30}$$

Igualamos el área obtenida a la proporcionada en el enunciado: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\lambda|\sqrt{30} = 3\sqrt{30}$$ Simplificamos dividiendo ambos lados por $\sqrt{30}$: $$\frac{1}{2} |\lambda| = 3 \implies |\lambda| = 6$$ Esto nos da dos posibles valores para $\lambda$: 1. **Si $\lambda = 6$:** $$C_1 = (1 + 2(6), 1 - 6, 1 + 6) = (13, -5, 7)$$ 2. **Si $\lambda = -6$:** $$C_2 = (1 + 2(-6), 1 - (-6), 1 + (-6)) = (-11, 7, -5)$$ ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{C_1 = (13, -5, 7) \quad \text{y} \quad C_2 = (-11, 7, -5)}$$