Integral indefinida, cálculo de primitiva y límites

**a) [1 p.] Calcule la integral indefinida $\int \frac{\sqrt{x}}{1+x} dx$.** Para resolver esta integral, observamos que la presencia de $\sqrt{x}$ sugiere un cambio de variable para simplificar la expresión y eliminar la raíz. Elegimos el cambio: $$t = \sqrt{x} \implies x = t^2$$ Ahora calculamos el diferencial $dx$ derivando respecto a $t$: $$dx = 2t \, dt$$ 💡 **Tip:** En integrales con raíces cuadradas, el cambio $t = \sqrt{x}$ suele convertir la integral en una de tipo racional (cociente de polinomios).

Sustituimos las expresiones de $x$ y $dx$ en la integral original: $$\int \frac{\sqrt{x}}{1+x} dx = \int \frac{t}{1+t^2} (2t \, dt) = 2 \int \frac{t^2}{t^2+1} dt$$ Como el grado del numerador es igual al grado del denominador, realizamos una manipulación algebraica sencilla (o división de polinomios) para separar la fracción: $$\frac{t^2}{t^2+1} = \frac{t^2+1-1}{t^2+1} = \frac{t^2+1}{t^2+1} - \frac{1}{t^2+1} = 1 - \frac{1}{t^2+1}$$ Por tanto, la integral se convierte en: $$2 \int \left( 1 - \frac{1}{t^2+1} \right) dt$$

Integramos término a término: $$2 \int 1 \, dt - 2 \int \frac{1}{t^2+1} dt = 2t - 2\arctan(t) + C$$ Finalmente, deshacemos el cambio de variable volviendo a $x$ ($t = \sqrt{x}$): $$2\sqrt{x} - 2\arctan(\sqrt{x}) + C$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\int \frac{\sqrt{x}}{1+x} dx = 2\sqrt{x} - 2\arctan(\sqrt{x}) + C}$$

**b) [0,5 p.] Determine la primitiva de $\frac{\sqrt{x}}{1+x}$ que pasa por el punto $(1,2)$.** Llamamos $F(x)$ a la familia de primitivas hallada en el apartado anterior: $$F(x) = 2\sqrt{x} - 2\arctan(\sqrt{x}) + C$$ Buscamos la constante $C$ tal que la función pase por $(1,2)$, es decir, que $F(1) = 2$: $$F(1) = 2\sqrt{1} - 2\arctan(\sqrt{1}) + C = 2$$ $$2(1) - 2\left(\frac{\pi}{4}\right) + C = 2$$ $$2 - \frac{\pi}{2} + C = 2$$ Despejamos $C$: $$C = \frac{\pi}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\arctan(1)$ es el ángulo cuya tangente vale $1$, que en el primer cuadrante es $\frac{\pi}{4}$ radianes. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{F(x) = 2\sqrt{x} - 2\arctan(\sqrt{x}) + \frac{\pi}{2}}$$

**c) [1 p.] Calcule el límite $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{1+x}$.** Evaluamos el límite directamente: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{1+x} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Al tratarse de una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ y ser funciones derivables, aplicamos la regla de L'Hôpital, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{1+x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{x})}{\frac{d}{dx}(1+x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{1}$$ Simplificamos la expresión: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{+\infty}} = \frac{1}{+\infty} = 0$$ 💡 **Tip:** También se podría resolver por comparación de infinitos: el denominador es un polinomio de grado $1$ y el numerador es de grado $1/2$. Como el grado del denominador es mayor, el límite es $0$. ✅ **Resultado del apartado c):** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{1+x} = 0}$$