Matrices: Inversa y Ecuaciones Matriciales

**a) [1 p.] Determine para qué valores de $a$ la matriz $A$ tiene inversa.** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(-1) \cdot 1 \cdot 1 + a \cdot a \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot (-1)] - [1 \cdot 1 \cdot 0 + (-1) \cdot a \cdot (-1) + 1 \cdot 0 \cdot a]$$ $$|A| = [-1 + a^2 + 0] - [0 + a + 0] = a^2 - a - 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es regular (tiene inversa) si su determinante es no nulo. Si el determinante es cero, la matriz es singular.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $a$ que hacen que la matriz no tenga inversa: $$a^2 - a - 1 = 0$$ Usamos la fórmula general para ecuaciones de segundo grado: $$a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$ Por tanto, la matriz $A$ tendrá inversa para cualquier valor de $a$ distinto de estos dos valores. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \neq \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{y} \quad a \neq \frac{1 - \sqrt{5}}{2}}$$

**b) [0,5 p.] Para $a = 1$, calcule la inversa de $A$.** Primero, sustituimos $a=1$ en la matriz y calculamos su determinante: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Utilizando la expresión del determinante obtenida en el apartado anterior: $|A| = 1^2 - 1 - 1 = -1$. Calculamos la matriz de adjuntos $(\text{Adj}(A))$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(-1) = 1$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(1-1) = 0$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(-1) = 1$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^T$.

Transponemos la matriz de adjuntos: $$(\text{Adj}(A))^T = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el determinante $|A| = -1$: $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**c) [1 p.] Para $a = 1$, resuelva la ecuación matricial $XA + 2I = 2A$.** Primero despejamos la matriz $X$ de la ecuación: $$XA + 2I = 2A \implies XA = 2A - 2I$$ Sacamos factor común el escalar $2$: $$XA = 2(A - I)$$ Como para $a=1$ existe $A^{-1}$, multiplicamos por la derecha por $A^{-1}$: $$XAA^{-1} = 2(A - I)A^{-1}$$ $$X = 2(AA^{-1} - IA^{-1})$$ $$X = 2(I - A^{-1})$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en matrices el orden de los productos es crucial. Como la matriz $A$ multiplica a $X$ por la derecha, debemos multiplicar por $A^{-1}$ también por la derecha.

Utilizamos la matriz $A^{-1}$ calculada en el apartado anterior: $$I - A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - (-2) & 0 - 1 & 0 - (-1) \\ 0 - (-1) & 1 - 1 & 0 - (-1) \\ 0 - 1 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{pmatrix}$$ $$I - A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Finalmente, multiplicamos por 2: $$X = 2 \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 6 & -2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$