Distribución Binomial: Lanzamiento de flechas

**a) [1 p.] Qué tipo de distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de flechas que dan en la diana.** Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de flechas que dan en la diana de un total de $n$ lanzamientos. Para que una variable siga una **distribución Binomial**, deben cumplirse las siguientes condiciones: 1. El experimento se repite un número finito de veces ($n = 9$ lanzamientos). 2. En cada lanzamiento solo hay dos resultados posibles: éxito (dar en la diana) o fracaso (no dar en la diana). 3. La probabilidad de éxito es constante en cada prueba ($p = 0,40$). 4. Los lanzamientos son independientes entre sí. Por tanto, la variable $X$ sigue una distribución binomial de parámetros $n = 9$ y $p = 0,40$. 💡 **Tip:** Una distribución binomial se denota como $B(n, p)$, donde $n$ es el número de ensayos y $p$ la probabilidad de éxito. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X \sim B(9, \, 0,40)}$$

**b) [0,5 p.] Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución.** Para una distribución $B(n, p)$, la media ($\mu$) y la desviación típica ($\sigma$) se calculan con las siguientes fórmulas: 1. **Media:** $$\mu = n \cdot p = 9 \cdot 0,40 = 3,6$$ 2. **Desviación típica:** Primero identificamos $q$, la probabilidad de fracaso: $q = 1 - p = 1 - 0,40 = 0,60$. $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{9 \cdot 0,40 \cdot 0,60} = \sqrt{2,16}$$ Calculamos la raíz cuadrada redondeando a 4 decimales: $$\sigma \approx 1,46969... \to 1,4697$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la varianza es $V = n \cdot p \cdot q$ y la desviación típica es su raíz cuadrada. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\mu = 3,6 \quad \text{y} \quad \sigma = 1,4697}$$

**c) [1 p.] Cuál es la probabilidad de que al menos 5 flechas den en la diana.** Se nos pide calcular $P(X \ge 5)$. Esto equivale a la suma de las probabilidades de obtener 5, 6, 7, 8 o 9 aciertos: $$P(X \ge 5) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9)$$ Utilizamos la fórmula de la probabilidad binomial: $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ - $P(X=5) = \binom{9}{5} (0,4)^5 (0,6)^4 = 126 \cdot 0,01024 \cdot 0,1296 \approx 0,167215$ - $P(X=6) = \binom{9}{6} (0,4)^6 (0,6)^3 = 84 \cdot 0,004096 \cdot 0,216 \approx 0,074318$ - $P(X=7) = \binom{9}{7} (0,4)^7 (0,6)^2 = 36 \cdot 0,0016384 \cdot 0,36 \approx 0,021234$ - $P(X=8) = \binom{9}{8} (0,4)^8 (0,6)^1 = 9 \cdot 0,00065536 \cdot 0,6 \approx 0,003539$ - $P(X=9) = \binom{9}{9} (0,4)^9 (0,6)^0 = 1 \cdot 0,00026214 \cdot 1 \approx 0,000262$ Sumamos los resultados: $$P(X \ge 5) = 0,167215 + 0,074318 + 0,021234 + 0,003539 + 0,000262 = 0,266568$$ Redondeando al cuarto decimal, obtenemos **0,2666**. 💡 **Tip:** El número combinatorio $\binom{n}{k}$ se calcula como $\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Por ejemplo, $\binom{9}{5} = \frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = 126$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 5) = 0,2666}$$