Posición relativa, punto de corte y ángulo entre recta y plano

**a) [1 p.] Estudie la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi$.** Primero identificamos un punto y el vector director de la recta $r$, así como el vector normal del plano $\pi$: - De la ecuación de la recta $r: \frac{x+1}{-1} = \frac{y+3}{2} = \frac{z}{1}$, obtenemos: - Vector director: $\vec{v}_r = (-1, 2, 1)$ - Punto de la recta: $P_r(-1, -3, 0)$ - De la ecuación del plano $\pi: x - 2y - z = -1$, obtenemos el vector normal (los coeficientes de $x, y, z$): - Vector normal: $\vec{n}_\pi = (1, -2, -1)$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua de la recta $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Para estudiar la posición relativa, calculamos el producto escalar entre el vector director de la recta $\vec{v}_r$ y el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 1 \cdot (-1) = -1 - 4 - 1 = -6$$ Como el producto escalar es distinto de cero ($-6 \neq 0$), los vectores no son perpendiculares. Esto implica que la recta no es paralela al plano ni está contenida en él. Por lo tanto, la recta y el plano son **secantes** (se cortan en un único punto). 💡 **Tip:** Si $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$, la recta sería paralela al plano o estaría contenida en él. Si es distinto de cero, siempre se cortan. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ y el plano } \pi \text{ son secantes.}}$$

**b) [1,5 p.] En caso de que la recta corte al plano, calcule el punto de corte y el ángulo que forman. En caso de que la recta no corte al plano, calcule la distancia entre ambos.** Como hemos determinado que se cortan, procedemos a calcular el punto de intersección $Q$. Para ello, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas: $$r: \begin{cases} x = -1 - \lambda \\ y = -3 + 2\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi: x - 2y - z = -1$: $$(-1 - \lambda) - 2(-3 + 2\lambda) - (\lambda) = -1$$ Resolvemos la ecuación para $\lambda$: $$-1 - \lambda + 6 - 4\lambda - \lambda = -1$$ $$5 - 6\lambda = -1 \implies -6\lambda = -6 \implies \lambda = 1$$ Ahora, sustituimos $\lambda = 1$ en las paramétricas de $r$ para hallar las coordenadas de $Q$: $x = -1 - (1) = -2$ $y = -3 + 2(1) = -1$ $z = 1$ ✅ **Resultado (Punto de corte):** $$\boxed{Q(-2, -1, 1)}$$

El ángulo $\alpha$ que forman una recta y un plano se calcula mediante la fórmula del seno (usando el vector director de la recta y el normal del plano): $$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{n}_\pi|}$$ Calculamos los módulos de los vectores: - $|\vec{v}_r| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ - $|\vec{n}_\pi| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ Sabemos que $|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi| = |-6| = 6$. Sustituimos en la fórmula: $$\sin(\alpha) = \frac{6}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{6}{6} = 1$$ Si $\sin(\alpha) = 1$, entonces: $$\alpha = \arcsin(1) = 90^\circ$$ Esto indica que la recta es perpendicular al plano. 💡 **Tip:** No confundas con el ángulo entre dos planos o dos rectas (que usa el coseno). Para recta y plano, se usa el **seno**. ✅ **Resultado (Ángulo):** $$\boxed{\alpha = 90^\circ}$$