Extremos relativos, monotonía y límites con la regla de L'Hôpital

**a) [1,5 p.] Calcule los extremos relativos (máximos y mínimos) de $f(x) = \frac{x^2+2x}{e^x}$, definida para todo valor de $x \in \mathbb{R}$. Determine también los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.** Para estudiar la monotonía y los extremos relativos, primero calculamos la derivada de la función $f(x) = \frac{x^2+2x}{e^x}$ utilizando la regla del cociente. Sea $u(x) = x^2+2x \implies u'(x) = 2x+2$ Sea $v(x) = e^x \implies v'(x) = e^x$ Aplicamos la fórmula $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$f'(x) = \frac{(2x+2)e^x - (x^2+2x)e^x}{(e^x)^2}$$ Factorizamos $e^x$ en el numerador: $$f'(x) = \frac{e^x(2x+2 - x^2 - 2x)}{e^{2x}} = \frac{-x^2+2}{e^x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al derivar una función de la forma $g(x) \cdot e^{-x}$, el resultado suele simplificarse mucho al cancelar los términos en $e^x$. $$\boxed{f'(x) = \frac{-x^2+2}{e^x}}$$

Los puntos críticos son aquellos donde $f'(x) = 0$. Como $e^x \gt 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$, el denominador nunca se anula y el signo de la derivada depende solo del numerador: $$-x^2+2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$$ Los valores críticos son $x_1 = -\sqrt{2}$ y $x_2 = \sqrt{2}$. Estos puntos dividen la recta real en tres intervalos para el estudio del signo de $f'(x)$.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en cada intervalo. Como $e^x$ siempre es positivo, el signo de $f'(x)$ es el mismo que el de $-x^2+2$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -\sqrt{2}) & -\sqrt{2} & (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) & \sqrt{2} & (\sqrt{2}, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -\sqrt{2})$, $f'(x) \lt 0$, la función es **decreciente**. - En $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $f'(x) \gt 0$, la función es **creciente**. - En $(\sqrt{2}, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$, la función es **decreciente**. Calculamos las ordenadas de los extremos: $f(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^2 + 2(-\sqrt{2})}{e^{-\sqrt{2}}} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{e^{-\sqrt{2}}} = (2 - 2\sqrt{2})e^{\sqrt{2}} \approx -3.39$ $f(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})}{e^{\sqrt{2}}} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{e^{\sqrt{2}}} \approx 1.17$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Creciente en: } (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \\ &\text{Decreciente en: } (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty) \\ &\text{Mínimo relativo: } (-\sqrt{2}, (2-2\sqrt{2})e^{\sqrt{2}}) \\ &\text{Máximo relativo: } (\sqrt{2}, (2+2\sqrt{2})e^{-\sqrt{2}}) \end{aligned}}$$

**b) [1 p.] Calcule $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right)$** Evaluamos el límite directamente: $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right) = \frac{1}{0} - \frac{1}{0} = [\infty - \infty]$$ Para resolver esta indeterminación, realizamos la resta de fracciones obteniendo un denominador común: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x(e^x - 1)}$$ Al evaluar de nuevo en $x=0$: $$\frac{e^0 - 1 - 0}{0(e^0 - 1)} = \frac{1 - 1 - 0}{0(1 - 1)} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**.

Derivamos el numerador y el denominador de forma independiente: - Numerador: $(e^x - 1 - x)' = e^x - 1$ - Denominador: $(x(e^x - 1))' = 1 \cdot (e^x - 1) + x \cdot e^x = e^x - 1 + xe^x$ Aplicamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x(e^x - 1)} \stackrel{L'H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{e^x - 1 + xe^x}$$ Evaluamos de nuevo en $x=0$: $$\frac{e^0 - 1}{e^0 - 1 + 0 \cdot e^0} = \frac{0}{0}$$ Como persiste la indeterminación $\frac{0}{0}$, aplicamos la **regla de L'Hôpital por segunda vez**. 💡 **Tip:** Antes de aplicar L'Hôpital, comprueba siempre que la forma es $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Derivamos de nuevo numerador y denominador: - Numerador: $(e^x - 1)' = e^x$ - Denominador: $(e^x - 1 + xe^x)' = e^x + (1 \cdot e^x + x \cdot e^x) = 2e^x + xe^x$ Aplicamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{e^x - 1 + xe^x} \stackrel{L'H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2e^x + xe^x}$$ Evaluamos en $x=0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^0}{2e^0 + 0 \cdot e^0} = \frac{1}{2 \cdot 1 + 0} = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right) = \frac{1}{2}}$$