Sistema de ecuaciones con parámetros

Para discutir el sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -a \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -a & -1 \\ 1 & 1 & 1 & a \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -a \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (a \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot (-2)) + (1 \cdot 1 \cdot (-a)) - [(-2 \cdot 1 \cdot 1) + (-a \cdot 1 \cdot a) + (1 \cdot 1 \cdot 1)]$$ $$|A| = a - 2 - a - [-2 - a^2 + 1] = -2 - [-1 - a^2] = a^2 - 1$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$a^2 - 1 = 0 \implies a = 1, \quad a = -1$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius establece que un sistema es compatible determinado si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la ampliada e igual al número de incógnitas ($n=3$).

**a) [1 p.] Determine para qué valores de $a$ el sistema tiene solución única. Si es posible, calcule dicha solución para $a = 2$.** Si $a \neq 1$ y $a \neq -1$, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto, $\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n$. Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (solución única)**. Para $a = 2$, el sistema es: $$\begin{cases} 2x + y - 2z = 0 \\ x + y - 2z = -1 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación de la primera: $$(2x + y - 2z) - (x + y - 2z) = 0 - (-1) \implies x = 1$$ Restamos la segunda ecuación de la tercera: $$(x + y + z) - (x + y - 2z) = 2 - (-1) \implies 3z = 3 \implies z = 1$$ Sustituimos $x = 1$ y $z = 1$ en la tercera ecuación: $$1 + y + 1 = 2 \implies y = 0$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{Solución única si } a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}; \text{ Para } a=2: (x, y, z) = (1, 0, 1)}$$

**b) [1 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.** Un sistema tiene infinitas soluciones si es Compatible Indeterminado ($\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) < 3$). Analizamos $a = -1$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right)$$ Observamos que las filas 2 y 3 son idénticas. Por tanto, el $\text{rg}(A^*) = \text{rg}(A)$. Calculamos el rango de $A$ tomando un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. 💡 **Tip:** Cuando un sistema es SCI, una de las ecuaciones es redundante. Aquí podemos eliminar la tercera fila.

Resolvemos el sistema para $a = -1$ usando las dos primeras ecuaciones y pasando $z$ al segundo miembro como parámetro $\lambda$: $$\begin{cases} -x + y = 2\lambda \\ x + y = -1 - \lambda \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$2y = 2\lambda - 1 - \lambda = \lambda - 1 \implies y = \frac{\lambda - 1}{2}$$ Restamos la primera de la segunda: $$2x = -1 - \lambda - 2\lambda = -1 - 3\lambda \implies x = \frac{-1 - 3\lambda}{2}$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\text{Para } a = -1, \text{ soluciones: } \left( \frac{-1-3\lambda}{2}, \frac{\lambda-1}{2}, \lambda \right) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) [0,5 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema no tiene solución.** El sistema no tiene solución si es Incompatible ($\text{rg}(A) < \text{rg}(A^*)$). Analizamos $a = 1$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ En la matriz $A$, las columnas 1 y 2 son iguales, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 + 2 = 1 \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 2$. Calculamos el rango de $A^*$ usando un menor que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1 + 2 + 0) - (0 - 1 - 2) = 1 - (-3) = 4 \neq 0$$ Como $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible**. ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{\text{El sistema no tiene solución para } a = 1}$$