Probabilidad y Estadística 2019 Murcia
Probabilidad de ganar en casa o fuera
B.4: (En este ejercicio trabaje con 4 decimales, redondeando el resultado al cuarto decimal).
La probabilidad de que un determinado equipo de fútbol gane cuando juega en casa es $\frac{2}{3}$, y la probabilidad de que gane cuando juega fuera es $\frac{2}{5}$.
a) [1 p.] Sin saber dónde jugará el próximo partido, calcule la probabilidad de que gane.
b) [1,5 p.] Si ganó el último partido del campeonato, ¿cuál es la probabilidad de que jugara en casa?
Paso 1
Definición de sucesos y árbol de probabilidad
**a) [1 p.] Sin saber dónde jugará el próximo partido, calcule la probabilidad de que gane.**
Primero, definimos los sucesos del problema:
- $C$: El equipo juega en **Casa**.
- $F$: El equipo juega **Fuera**.
- $G$: El equipo **Gana** el partido.
- $\bar{G}$: El equipo no gana (empata o pierde).
Como el enunciado no indica una probabilidad distinta para jugar en casa o fuera, asumimos que ambas situaciones son equiprobables: $P(C) = 0.5$ y $P(F) = 0.5$.
Las probabilidades condicionadas dadas son:
- $P(G|C) = \frac{2}{3} \approx 0.6667$
- $P(G|F) = \frac{2}{5} = 0.4000$
Representamos la situación en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total de ganar
Para calcular $P(G)$ aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de ganar en casa y de ganar fuera:
$$P(G) = P(C) \cdot P(G|C) + P(F) \cdot P(G|F)$$
Sustituimos los valores (usando 4 decimales como indica el enunciado):
$$P(G) = 0.5000 \cdot 0.6667 + 0.5000 \cdot 0.4000$$
$$P(G) = 0.33335 + 0.2000 = 0.53335$$
Redondeando al cuarto decimal:
$$P(G) \approx 0.5334$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso depende de varios casos previos que forman una partición del espacio muestral.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(G) = 0.5334}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad a posteriori (Teorema de Bayes)
**b) [1,5 p.] Si ganó el último partido del campeonato, ¿cuál es la probabilidad de que jugara en casa?**
Se nos pide calcular la probabilidad de haber jugado en casa condicionada a que se ha ganado, es decir, $P(C|G)$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(C|G) = \frac{P(C \cap G)}{P(G)} = \frac{P(C) \cdot P(G|C)}{P(G)}$$
Utilizamos los valores obtenidos anteriormente:
- $P(C) \cdot P(G|C) = 0.5000 \cdot 0.6667 = 0.33335$
- $P(G) = 0.53335$ (usamos el valor sin redondear para mayor precisión intermedia)
Calculamos:
$$P(C|G) = \frac{0.33335}{0.53335} \approx 0.624955...$$
Redondeando al cuarto decimal:
$$P(C|G) \approx 0.6250$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite "invertir" la condicional, calculando la probabilidad de la causa dado el efecto observado.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C|G) = 0.6250}$$