Posición relativa y perpendicular común de dos rectas

**a) [1 p.] Estudie la posición relativa de ambas rectas.** Primero, identificamos un punto y el vector director de cada recta a partir de sus ecuaciones simétricas: Recta $r$: - Punto $P_r = (5, 6, -1)$ - Vector director $\vec{v}_r = (1, 1, 1)$ Recta $s$: - Punto $P_s = (1, 0, -1)$ - Vector director $\vec{v}_s = (1, 1, -1)$ 💡 **Tip:** En la ecuación simétrica $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(a, b, c)$.

Comprobamos si los vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ son paralelos (proporcionales): $$\frac{1}{1} = \frac{1}{1} \neq \frac{1}{-1}$$ Como no son proporcionales, las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Por tanto, las rectas o bien se cortan en un punto o bien se cruzan en el espacio.

Para distinguir si se cortan o se cruzan, calculamos el vector $\vec{P_r P_s}$ y el determinante formado por $\vec{v}_r, \vec{v}_s$ y $\vec{P_r P_s}$. $$\vec{P_r P_s} = (1 - 5, 0 - 6, -1 - (-1)) = (-4, -6, 0)$$ Calculamos el determinante: $$\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -4 & -6 & 0 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$\det = (1 \cdot 1 \cdot 0) + (1 \cdot (-1) \cdot (-4)) + (1 \cdot 1 \cdot (-6)) - [ (1 \cdot 1 \cdot (-4)) + (1 \cdot (-1) \cdot (-6)) + (1 \cdot 1 \cdot 0) ]$$ $$\det = (0 + 4 - 6) - (-4 + 6 + 0) = -2 - 2 = -4$$ Como el determinante es distinto de cero ($\det \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**b) [1,5 p.] En caso de que las rectas se crucen, calcule la perpendicular común a ambas rectas.** Como hemos determinado que las rectas se cruzan, debemos hallar la recta $t$ que es perpendicular a $r$ y a $s$. El vector director de $t$ será el producto vectorial de los vectores directores de $r$ y $s$: $$\vec{v}_t = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por adjuntos: $$\vec{v}_t = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_t = (-1 - 1)\vec{i} - (-1 - 1)\vec{j} + (1 - 1)\vec{k} = (-2, 2, 0)$$ Podemos simplificar el vector director tomando $\vec{v}_t = (-1, 1, 0)$.

La perpendicular común $t$ se puede expresar como la intersección de dos planos: 1. Plano $\pi_1$: contiene a la recta $r$ y al vector $\vec{v}_t$. 2. Plano $\pi_2$: contiene a la recta $s$ y al vector $\vec{v}_t$. **Plano $\pi_1$:** $$\begin{vmatrix} x - 5 & y - 6 & z + 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x - 5)(0 - 1) - (y - 6)(0 - (-1)) + (z + 1)(1 - (-1)) = 0$$ $$-1(x - 5) - 1(y - 6) + 2(z + 1) = 0$$ $$-x + 5 - y + 6 + 2z + 2 = 0 \implies -x - y + 2z + 13 = 0 \implies x + y - 2z - 13 = 0$$ **Plano $\pi_2$:** $$\begin{vmatrix} x - 1 & y & z + 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x - 1)(0 - (-1)) - y(0 - 1) + (z + 1)(1 - (-1)) = 0$$ $$1(x - 1) + 1y + 2(z + 1) = 0$$ $$x - 1 + y + 2z + 2 = 0 \implies x + y + 2z + 1 = 0$$

La perpendicular común es la recta definida por la intersección de ambos planos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t : \begin{cases} x + y - 2z - 13 = 0 \\ x + y + 2z + 1 = 0 \end{cases}}$$