Optimización de distancias en un triángulo isósceles

**a) [0,5 p.] Demuestre que la suma de las distancias del punto $A$ a los tres vértices del triángulo viene dada por la expresión $f(x) = 5-x+2\sqrt{x^2+36}$.** Situamos el triángulo en un sistema de ejes coordenados para facilitar los cálculos: 1. Colocamos la base sobre el eje $X$, de modo que su punto medio sea el origen $(0,0)$. Como la base mide 12 cm, los vértices de la base son $V_1 = (-6, 0)$ y $V_2 = (6, 0)$. 2. La altura mide 5 cm y cae sobre el eje $Y$, por lo que el tercer vértice es $V_3 = (0, 5)$. 3. El punto $A$ está sobre la altura a una distancia $x$ de la base, por lo que sus coordenadas son $A = (0, x)$, con $0 \le x \le 5$. Calculamos las distancias de $A$ a los tres vértices: - Distancia al vértice superior ($V_3$): $d(A, V_3) = \sqrt{(0-0)^2 + (5-x)^2} = |5-x|$. Dado que $x \le 5$, tenemos $5-x$. - Distancia a los vértices de la base ($V_1$ y $V_2$): Por simetría, ambas son iguales: $$d(A, V_1) = \sqrt{(-6-0)^2 + (0-x)^2} = \sqrt{36 + x^2}$$ $$d(A, V_2) = \sqrt{(6-0)^2 + (0-x)^2} = \sqrt{36 + x^2}$$ La suma de las distancias $f(x)$ es: $$f(x) = (5-x) + \sqrt{x^2+36} + \sqrt{x^2+36} = 5-x + 2\sqrt{x^2+36}$$ 💡 **Tip:** En problemas de geometría, situar la figura en unos ejes de coordenadas estratégicos (usualmente centrando la base) simplifica mucho el cálculo de distancias. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) = 5-x+2\sqrt{x^2+36}}$$

**b) [1,5 p.] Calcule el valor de $x$ para que la suma de las distancias sea mínima.** Para hallar el mínimo, derivamos la función $f(x)$ respecto a $x$: $$f(x) = 5 - x + 2(x^2 + 36)^{1/2}$$ Aplicamos la regla de la cadena para la raíz: $$f'(x) = 0 - 1 + 2 \cdot \frac{1}{2}(x^2 + 36)^{-1/2} \cdot (2x)$$ $$f'(x) = -1 + \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 36}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\sqrt{u}$ es $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$. Aquí $u = x^2+36$, por lo que su derivada es $2x$. $$\boxed{f'(x) = -1 + \frac{2x}{\sqrt{x^2+36}}}$$

Igualamos la primera derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$-1 + \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 36}} = 0 \implies \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 36}} = 1$$ Multiplicamos por el denominador y elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz: $$2x = \sqrt{x^2 + 36} \implies (2x)^2 = (\sqrt{x^2 + 36})^2$$ $$4x^2 = x^2 + 36$$ Agrupamos las $x$: $$3x^2 = 36 \implies x^2 = 12$$ $$x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$$ Como $x$ representa una distancia física dentro de la altura del triángulo ($0 \le x \le 5$), descartamos el valor negativo. El punto crítico es: $$x = 2\sqrt{3} \approx 3,464 \text{ cm}$$ 💡 **Tip:** Al elevar al cuadrado en una ecuación, siempre debemos verificar que el resultado tiene sentido en el contexto del problema (en este caso, $x$ debe ser positivo).

Estudiamos el signo de la primera derivada en el intervalo $(0, 5)$ para confirmar que $x = 2\sqrt{3}$ es un mínimo: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 2\sqrt{3}) & 2\sqrt{3} & (2\sqrt{3}, 5) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array} $$ - Para $x = 1$: $f'(1) = -1 + \frac{2}{\sqrt{37}} < 0$. - Para $x = 4$: $f'(4) = -1 + \frac{8}{\sqrt{16+36}} = -1 + \frac{8}{\sqrt{52}} > 0$ (ya que $\sqrt{52} < 8$). Al pasar de decreciente a creciente, confirmamos que existe un **mínimo relativo** en $x = 2\sqrt{3}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 2\sqrt{3} \text{ cm}}$$

**c) [0,5 p.] Calcule dicha cantidad mínima.** Sustituimos el valor de $x = 2\sqrt{3}$ en la función original $f(x)$: $$f(2\sqrt{3}) = 5 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 36}$$ $$f(2\sqrt{3}) = 5 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{12 + 36}$$ $$f(2\sqrt{3}) = 5 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{48}$$ Simplificamos $\sqrt{48}$ sabiendo que $48 = 16 \cdot 3$: $$\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$ Entonces: $$f(2\sqrt{3}) = 5 - 2\sqrt{3} + 2(4\sqrt{3})$$ $$f(2\sqrt{3}) = 5 - 2\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 5 + 6\sqrt{3}$$ Calculando el valor aproximado: $$5 + 6(1,732) \approx 5 + 10,392 = 15,392 \text{ cm}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(2\sqrt{3}) = 5 + 6\sqrt{3} \text{ cm} \approx 15,39 \text{ cm}}$$