Potencias de una matriz y matriz inversa

**a) [1 p.] Calcule las potencias sucesivas $A^2, A^3$ y $A^4$.** Para calcular las potencias de una matriz, multiplicamos la matriz por sí misma sucesivamente. Empezamos calculando $A^2 = A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0+0 & 1+1+0 & 1+0+1 \\ 0+0+0 & 0+1+0 & 0+0+0 \\ 0+0+0 & 0+0+0 & 0+0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $A^3 = A^2 \cdot A$: $$A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0+0 & 1+2+0 & 1+0+2 \\ 0+0+0 & 0+1+0 & 0+0+0 \\ 0+0+0 & 0+0+0 & 0+0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, se multiplica cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda matriz, sumando los productos de sus elementos correspondientes.

Continuamos el proceso para hallar $A^4 = A^3 \cdot A$: $$A^4 = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0+0 & 1+3+0 & 1+0+3 \\ 0+0+0 & 0+1+0 & 0+0+0 \\ 0+0+0 & 0+0+0 & 0+0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^4 = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) [0,5 p.] Calcule la expresión general de $A^n$ para cualquier valor de $n \in \mathbb{N}$.** Observando los resultados obtenidos en el apartado anterior: - $A^1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ - $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ - $A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ - $A^4 = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ Podemos apreciar un patrón recurrente: los elementos de la diagonal principal son siempre $1$, los elementos por debajo de la diagonal son $0$ y los elementos $a_{12}$ y $a_{13}$ coinciden con el exponente $n$. Por tanto, la expresión general para cualquier $n \in \mathbb{N}$ es: $$\boxed{A^n = \begin{pmatrix} 1 & n & n \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**c) [1 p.] Determine si existe la inversa de $A$. En caso afirmativo, calcúlela.** Una matriz $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Como es una matriz triangular superior, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal: $$|A| = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$$ 💡 **Tip:** Para matrices triangulares (elementos por encima o debajo de la diagonal son todos cero), el determinante se calcula directamente multiplicando la diagonal principal. Dado que $|A| = 1 \neq 0$, **sí existe la matriz inversa $A^{-1}$**.

Para calcular $A^{-1}$ utilizamos la fórmula: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$$ Primero, calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$ calculando los menores correspondientes: - $C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $C_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $C_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $C_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ - $C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Transponemos la matriz adjunta: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Como $|A|=1$: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado del apartado c):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$