Distribución Normal: Cálculo de probabilidades y parámetros

Definimos la variable aleatoria $X$ como el tiempo de duración de las bombillas en horas. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma)$$ Se nos proporcionan los siguientes datos de probabilidad: 1. $P(X \lt 5061,2) = 69,50\% = 0,6950$ 2. $P(X \gt 5116,4) = 16,60\% = 0,1660$ 💡 **Tip:** En una distribución normal, la probabilidad total es $1$. Para calcular la probabilidad de durar menos de un valor cuando nos dan la de durar más, usamos el suceso complementario: $P(X \lt k) = 1 - P(X \gt k)$.

**a) [1 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla de esta marca dure entre 5061,2 y 5116,4 horas?** Buscamos calcular $P(5061,2 \lt X \lt 5116,4)$. Por las propiedades de la función de distribución: $$P(5061,2 \lt X \lt 5116,4) = P(X \lt 5116,4) - P(X \lt 5061,2)$$ Ya conocemos $P(X \lt 5061,2) = 0,6950$. Calculamos $P(X \lt 5116,4)$ usando el dato del enunciado $P(X \gt 5116,4) = 0,1660$: $$P(X \lt 5116,4) = 1 - P(X \gt 5116,4) = 1 - 0,1660 = 0,8340$$ Sustituimos en la fórmula del intervalo: $$P(5061,2 \lt X \lt 5116,4) = 0,8340 - 0,6950 = 0,1390$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(5061,2 \lt X \lt 5116,4) = 0,1390}$$

**b) [1,5 p.] Calcule la media y la desviación típica de esta distribución normal.** Para hallar $\mu$ y $\sigma$, debemos tipificar la variable $X$ para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$. Para el primer dato: $$P(X \lt 5061,2) = 0,6950 \implies P\left(Z \lt \frac{5061,2 - \mu}{\sigma}\right) = 0,6950$$ Buscamos en la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor de $z$ cuya probabilidad acumulada sea $0,6950$: $$z_1 = 0,51 \implies \frac{5061,2 - \mu}{\sigma} = 0,51 \implies 5061,2 - \mu = 0,51\sigma \quad [E_1]$$ Para el segundo dato: $$P(X \lt 5116,4) = 0,8340 \implies P\left(Z \lt \frac{5116,4 - \mu}{\sigma}\right) = 0,8340$$ Buscamos en la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor de $z$ para $0,8340$: $$z_2 = 0,97 \implies \frac{5116,4 - \mu}{\sigma} = 0,97 \implies 5116,4 - \mu = 0,97\sigma \quad [E_2]$$ 💡 **Tip:** Si el valor de probabilidad es mayor que $0,5$, el valor de $z$ es positivo y se busca directamente en la tabla.

Tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: $$\begin{cases} 5061,2 - \mu = 0,51\sigma \\ 5116,4 - \mu = 0,97\sigma \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $\mu$: $$(5116,4 - \mu) - (5061,2 - \mu) = 0,97\sigma - 0,51\sigma$$ $$55,2 = 0,46\sigma$$ $$\sigma = \frac{55,2}{0,46} = 120$$ Ahora sustituimos $\sigma = 120$ en la primera ecuación $[E_1]$: $$5061,2 - \mu = 0,51 \cdot 120$$ $$5061,2 - \mu = 61,2$$ $$\mu = 5061,2 - 61,2 = 5000$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\mu = 5000,0000; \quad \sigma = 120,0000}$$