Tetraedro: Plano, Recta y Volumen

**a) [0,5 p.] Calcule la ecuación del plano que contiene a los puntos $A, B$ y $C$.** Para obtener la ecuación del plano $\pi$, necesitamos un punto y dos vectores directores que pertenezcan al plano. Tomamos el punto $A(3,0,0)$ y los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = B - A = (0-3, 3-0, 0-0) = (-3, 3, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0-3, 0-0, 3-0) = (-3, 0, 3)$$ El vector normal al plano, $\vec{n_\pi}$, se obtiene mediante el producto vectorial de estos dos vectores: $$\vec{n_\pi} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 3 & 0 \\ -3 & 0 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n_\pi} = [3 \cdot 3]\mathbf{i} - [-3 \cdot 3]\mathbf{j} + [-3 \cdot 0 - (-3 \cdot 3)]\mathbf{k}$$ $$\vec{n_\pi} = 9\mathbf{i} + 9\mathbf{j} + 9\mathbf{k} = (9, 9, 9)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo entre 9, obteniendo $\vec{n_\pi} = (1, 1, 1)$. La ecuación del plano será del tipo $x + y + z + D = 0$. Sustituimos el punto $A(3,0,0)$: $$3 + 0 + 0 + D = 0 \implies D = -3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si un plano pasa por los puntos $(a,0,0)$, $(0,b,0)$ y $(0,0,c)$, su ecuación segmentaria es $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi: x + y + z - 3 = 0}$$

**b) [0,5 p.] Calcule la ecuación de la recta $r$ que pasa por el punto $P = (1,1,1)$ y es perpendicular al plano $\pi$.** Si la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi$, su vector director $\vec{v_r}$ debe ser paralelo al vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. Del apartado anterior, sabemos que $\vec{n_\pi} = (1, 1, 1)$. Por tanto, tomamos: $$\vec{v_r} = (1, 1, 1)$$ La recta pasa por el punto $P(1, 1, 1)$. Usaremos las ecuaciones paramétricas por ser las más cómodas para trabajar con puntos genéricos más adelante: $$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Una recta queda determinada por un punto y un vector. Si es perpendicular a un plano, el vector normal del plano es el director de la recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: (x, y, z) = (1, 1, 1) + \lambda(1, 1, 1)}$$

**c) [1,5 p.] Calcule las coordenadas del vértice $D$ sabiendo que el volumen del tetraedro es 18.** El punto $D$ pertenece a la recta $r$, por lo que sus coordenadas en función del parámetro $\lambda$ son: $$D(1+\lambda, 1+\lambda, 1+\lambda)$$ El volumen de un tetraedro formado por los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$ se calcula como: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$$ Calculamos el vector $\vec{AD}$: $$\vec{AD} = D - A = (1+\lambda - 3, 1+\lambda - 0, 1+\lambda - 0) = (\lambda - 2, \lambda + 1, \lambda + 1)$$ Ahora calculamos el producto mixto mediante el determinante: $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \begin{vmatrix} -3 & 3 & 0 \\ -3 & 0 & 3 \\ \lambda-2 & \lambda+1 & \lambda+1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$= [(-3) \cdot 0 \cdot (\lambda+1) + 3 \cdot 3 \cdot (\lambda-2) + 0 \cdot (-3) \cdot (\lambda+1)] - [(\lambda-2) \cdot 0 \cdot 0 + (\lambda+1) \cdot 3 \cdot (-3) + (\lambda+1) \cdot 3 \cdot (-3)]$$ $$= [0 + 9\lambda - 18 + 0] - [0 - 9\lambda - 9 - 9\lambda - 9]$$ $$= 9\lambda - 18 - (-18\lambda - 18) = 9\lambda - 18 + 18\lambda + 18 = 27\lambda$$ Sustituimos en la fórmula del volumen: $$18 = \frac{1}{6} |27\lambda| \implies 108 = |27\lambda| \implies |\lambda| = \frac{108}{27} = 4$$ Obtenemos dos posibles valores para $\lambda$: 1. Si $\lambda = 4 \implies D_1 = (1+4, 1+4, 1+4) = (5, 5, 5)$ 2. Si $\lambda = -4 \implies D_2 = (1-4, 1-4, 1-4) = (-3, -3, -3)$ 💡 **Tip:** No olvides el valor absoluto en la fórmula del volumen, ya que esto suele generar dos soluciones simétricas respecto al plano de la base. ✅ **Resultado:** $$\boxed{D_1(5, 5, 5) \text{ y } D_2(-3, -3, -3)}$$