Integración por partes y cálculo de áreas

**a) [1,5 p.] Calcule la integral indefinida $\int x^2 \cos x dx$.** Para resolver esta integral, utilizaremos el método de integración por partes. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla útil para elegir $u$ es la regla **LIATE** (Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algebráicas, Trigonométricas, Exponenciales). Elegimos: - $u = x^2 \implies du = 2x \, dx$ - $dv = \cos x \, dx \implies v = \int \cos x \, dx = \sin x$ Aplicando la fórmula: $$\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - \int 2x \sin x \, dx = x^2 \sin x - 2\int x \sin x \, dx$$ Ahora necesitamos resolver la integral resultante $\int x \sin x \, dx$, que también requiere integración por partes.

Para la integral $\int x \sin x \, dx$, aplicamos de nuevo el método: Elegimos: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \sin x \, dx \implies v = -\cos x$ Aplicamos la fórmula: $$\int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x$$ Sustituimos este resultado en la expresión general del paso anterior: $$\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - 2(-x \cos x + \sin x) + C$$ Simplificamos la expresión: $$\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C$$ Agrupando términos con $\sin x$: $$\boxed{\int x^2 \cos x \, dx = (x^2 - 2) \sin x + 2x \cos x + C}$$

**b) [1 p.] Determine el área del recinto limitado por el eje OX, las rectas verticales $x = 0$ y $x = \pi$, y la gráfica de la función $f(x) = x^2 \cos x$.** El área viene dada por la integral definida de la función en valor absoluto entre los límites $0$ y $\pi$: $$A = \int_{0}^{\pi} |x^2 \cos x| \, dx$$ Primero, buscamos si la función $f(x) = x^2 \cos x$ corta al eje OX en el intervalo $(0, \pi)$: $$x^2 \cos x = 0 \implies x=0 \text{ o } \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}$$ Analizamos el signo de la función en los intervalos resultantes: 1. En $(0, \pi/2)$: $\cos x > 0$, por lo que $f(x) > 0$. 2. En $(\pi/2, \pi)$: $\cos x < 0$, por lo que $f(x) < 0$. Por tanto, el área se divide en dos regiones: $$A = \int_{0}^{\pi/2} x^2 \cos x \, dx + \left| \int_{\pi/2}^{\pi} x^2 \cos x \, dx \right|$$

Utilizamos la primitiva hallada en el apartado anterior: $F(x) = (x^2 - 2) \sin x + 2x \cos x$. Calculamos los valores en los puntos críticos: - $F(0) = (0 - 2) \sin 0 + 2(0) \cos 0 = 0$ - $F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi^2}{4} - 2\right) \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi^2}{4} - 2\right)(1) + \pi(0) = \frac{\pi^2}{4} - 2$ - $F(\pi) = (\pi^2 - 2) \sin \pi + 2\pi \cos \pi = (\pi^2 - 2)(0) + 2\pi(-1) = -2\pi$ Aplicamos la regla de Barrow para cada intervalo: $$A_1 = F(\pi/2) - F(0) = \frac{\pi^2}{4} - 2$$ $$A_2 = F(\pi) - F(\pi/2) = -2\pi - \left(\frac{\pi^2}{4} - 2\right) = -2\pi - \frac{\pi^2}{4} + 2$$ Sumamos los valores absolutos: $$A = \left( \frac{\pi^2}{4} - 2 \right) + \left| -2\pi - \frac{\pi^2}{4} + 2 \right| = \frac{\pi^2}{4} - 2 + 2\pi + \frac{\pi^2}{4} - 2$$ $$A = \frac{2\pi^2}{4} + 2\pi - 4 = \frac{\pi^2}{2} + 2\pi - 4 \approx 7.218 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{A = \left( \frac{\pi^2}{2} + 2\pi - 4 \right) \text{ u}^2}$$