Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) [1 p.] Determine para qué valores de $a$ el sistema tiene solución única. Si es posible, calcule dicha solución para $a = 0$.** Para discutir el sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & a & 1 & a \\ a & 1 & 1 & a+3 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot a \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot a) + (a \cdot 1 \cdot 1) - (a \cdot a \cdot a) - (1 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = a + a + a - a^3 - 1 - 1 = -a^3 + 3a - 2$$ Buscamos las raíces de $|A| = 0$ para identificar los valores críticos. Probamos con $a=1$: $$-(1)^3 + 3(1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$$ Dividiendo el polinomio entre $(a-1)$ mediante Ruffini u otro método, obtenemos: $$-a^3 + 3a - 2 = -(a-1)^2(a+2)$$ Las soluciones de $|A|=0$ son **$a = 1$** y **$a = -2$**. 💡 **Tip:** Según el Teorema de Rouché-Frobenius, si $|A| \neq 0$, entonces $rango(A) = rango(A^*) = 3$ (número de incógnitas), y el sistema es Compatible Determinado (solución única).

A partir del cálculo anterior, el sistema tiene una **solución única** cuando el determinante es distinto de cero. Por tanto, el sistema es un Sistema Compatible Determinado (SCD) si: $$\boxed{a \neq 1 \quad \text{y} \quad a \neq -2}$$

Como $a=0$ cumple que $a \neq 1$ y $a \neq -2$, el sistema tiene solución única. Sustituimos $a=0$ en el sistema original: $$\begin{cases} x + y = 1 \\ x + z = 0 \implies z = -x \\ y + z = 3 \end{cases}$$ Sustituimos $z = -x$ en la tercera ecuación: $$y + (-x) = 3 \implies y - x = 3 \implies y = x + 3$$ Ahora sustituimos esta expresión de $y$ en la primera ecuación: $$x + (x + 3) = 1 \implies 2x + 3 = 1 \implies 2x = -2 \implies \mathbf{x = -1}$$ Calculamos las demás variables: $$y = -1 + 3 = \mathbf{2}$$ $$z = -(-1) = \mathbf{1}$$ ✅ **Resultado para $a=0$:** $$\boxed{(x, y, z) = (-1, 2, 1)}$$

**b) [1 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.** Analizamos los valores críticos hallados en el paso 1 ($a=1$ y $a=-2$). Probamos primero con **$a = -2$**: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ -2 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A|=0$. Calculamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 1 = -3 \neq 0 \implies rango(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$. Tomamos un menor de orden 3 usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Observamos que las columnas 2 y 3 son proporcionales (idénticas en este caso), por lo que el determinante es 0. Todas las submatrices de orden 3 en $A^*$ tienen determinante 0. Como $rango(A) = rango(A^*) = 2 \lt 3$ (número de incógnitas), por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Indeterminado**. ✅ **Resultado (valor de $a$):** $$\boxed{a = -2}$$

Para $a = -2$, el sistema es equivalente a usar solo las dos primeras ecuaciones (ya que el rango es 2): $$\begin{cases} x + y - 2z = 1 \\ x - 2y + z = -2 \end{cases}$$ Parametrizamos haciendo **$z = \lambda$** ($ \lambda \in \mathbb{R}$): $$\begin{cases} x + y = 1 + 2\lambda \\ x - 2y = -2 - \lambda \end{cases}$$ Restamos la segunda a la primera: $$(x - x) + (y - (-2y)) = (1 + 2\lambda) - (-2 - \lambda)$$ $$3y = 3 + 3\lambda \implies \mathbf{y = 1 + \lambda}$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$x + (1 + \lambda) = 1 + 2\lambda \implies \mathbf{x = \lambda}$$ ✅ **Resultado (solución infinita):** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, 1 + \lambda, \lambda) \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) [0,5 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema no tiene solución.** Analizamos el valor crítico restante, **$a = 1$**: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1+3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right)$$ En este caso, la matriz $A$ tiene todas sus filas iguales, por lo que $rango(A) = 1$. Sin embargo, si observamos las ecuaciones resultantes: $$x + y + z = 1$$ $$x + y + z = 4$$ Es imposible que la suma de las mismas variables dé 1 y 4 simultáneamente. Formalmente, si tomamos un menor de orden 2 en $A^*$ que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 \neq 0 \implies rango(A^*) = 2$$ Como $rango(A) = 1 \neq rango(A^*) = 2$, por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Incompatible**. ✅ **Resultado (valor de $a$):** $$\boxed{a = 1}$$