Probabilidad y opciones de bachillerato

**a) Probabilidad de que un estudiante curse la opción científico-tecnológica y no practique deporte. (3 puntos)** Primero, definimos los sucesos según el enunciado: - $C$: El estudiante cursa la opción científico-tecnológica. - $F$: El estudiante practica fútbol. - $B$: El estudiante practica baloncesto. - $S$: El estudiante practica algún deporte ($S = F \cup B$). - $\overline{S}$: El estudiante no practica deporte. Datos conocidos: - Total de estudiantes: $N = 500$ - $n(C) = 200 \implies n(\overline{C}) = 300$ - $n(F) = 150$ - $n(B) = 100$ - Como no hay solapamiento entre fútbol y baloncesto, el total de deportistas es $n(S) = 150 + 100 = 250$. - Estudiantes que no hacen deporte: $n(\overline{S}) = 500 - 250 = 250$. - Estudiantes de baloncesto y científico-tecnológica: $n(B \cap C) = 70$. - Estudiantes que no hacen deporte ni científico: $n(\overline{S} \cap \overline{C}) = 150$. Calculamos los valores restantes para completar la tabla: 1. De los 250 que no hacen deporte ($\overline{S}$), si 150 son $\overline{C}$, entonces: $n(\overline{S} \cap C) = 250 - 150 = 100$. 2. Para la opción científico-tecnológica ($C$): $n(C) = n(C \cap F) + n(C \cap B) + n(C \cap \overline{S})$. $200 = n(C \cap F) + 70 + 100 \implies n(C \cap F) = 30$. **Tabla de contingencia:** $$\begin{array}{c|c|c|c} & C & \overline{C} & \text{Total} \\\hline F & 30 & 120 & 150 \\\hline B & 70 & 30 & 100 \\\hline \overline{S} \text{ (No Deporte)} & 100 & 150 & 250 \\\hline \text{Total} & 200 & 300 & 500 \end{array}$$ Para el apartado a), buscamos $P(C \cap \overline{S})$: $$P(C \cap \overline{S}) = \frac{n(C \cap \overline{S})}{N} = \frac{100}{500} = 0,2$$ 💡 **Tip:** Las tablas de contingencia son ideales cuando tenemos una población dividida por dos o más criterios (en este caso, opción de estudio y deporte). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C \cap \overline{S}) = 0,2}$$

**b) Sabiendo que un estudiante practica fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que curse la opción científico-tecnológica? (3 puntos)** Nos piden la probabilidad condicionada $P(C|F)$. Aplicamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(C|F) = \frac{P(C \cap F)}{P(F)}$$ Utilizando los datos de nuestra tabla: - Estudiantes que cursan científico y juegan fútbol: $n(C \cap F) = 30$. - Total de estudiantes que juegan fútbol: $n(F) = 150$. Sustituyendo: $$P(C|F) = \frac{30}{150}$$ Simplificamos la fracción: $$P(C|F) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0,2$$ 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, la probabilidad condicionada $P(A|B)$ se calcula dividiendo el valor de la intersección $n(A \cap B)$ entre el total de la condición $n(B)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C|F) = 0,2}$$

**c) ¿Son independientes los eventos “practicar fútbol” e “estudiar la opción científico-tecnológica”? Razonad la respuesta. (4 puntos)** Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si se cumple que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, o equivalentemente, si $P(A|B) = P(A)$. Vamos a comprobar si $P(C|F) = P(C)$: 1. Ya sabemos por el apartado anterior que: $$P(C|F) = 0,2$$ 2. Calculamos la probabilidad marginal de $C$: $$P(C) = \frac{n(C)}{N} = \frac{200}{500} = 0,4$$ Comparamos los valores: $$P(C|F) = 0,2 \neq P(C) = 0,4$$ Como la probabilidad de cursar la opción científico-tecnológica cambia dependiendo de si el estudiante practica fútbol o no (es decir, el hecho de saber que practica fútbol reduce la probabilidad de que sea de la rama científica del $40\%$ al $20\%$), los sucesos no son independientes. 💡 **Tip:** Si $P(A|B) \lt P(A)$, se dice que los sucesos están correlacionados negativamente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No son independientes}}$$