Cálculo del área de un triángulo en el espacio

Para resolver el ejercicio, primero identificamos los elementos dados y organizamos los puntos que formarán el triángulo: 1. **Recta $r$:** Dada en forma continua como $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-1}{-1}$. Obtenemos su ecuación paramétrica igualando a un parámetro $\lambda$: $$\begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = 1 - \lambda \end{cases}$$ 2. **Punto $B$:** El enunciado nos indica el punto $(1, -1, 1)$ de la recta. Llamémoslo $B(1, -1, 1)$. Notemos que este punto corresponde a $\lambda = 0$. 3. **Plano $\pi$:** $x - y = 0$. Su vector normal es $\vec{n}_\pi = (1, -1, 0)$. 💡 **Tip:** Pasar de forma continua a paramétrica es fundamental para hallar puntos de corte. Solo hay que despejar $x, y, z$ en función del parámetro.

El primer vértice del triángulo es el punto de corte $A = r \cap \pi$. Sustituimos las expresiones paramétricas de la recta en la ecuación del plano: $$(1 + 2\lambda) - (-1 + \lambda) = 0$$ $$1 + 2\lambda + 1 - \lambda = 0$$ $$\lambda + 2 = 0 \implies \lambda = -2$$ Sustituimos $\lambda = -2$ en las ecuaciones de $r$ para hallar las coordenadas de $A$: - $x = 1 + 2(-2) = -3$ - $y = -1 + (-2) = -3$ - $z = 1 - (-2) = 3$ $$\boxed{A(-3, -3, 3)}$$

El tercer vértice es $C$, la proyección ortogonal de $B(1, -1, 1)$ sobre el plano $\pi$. Para hallarlo, trazamos una recta auxiliar $s$ que pase por $B$ y sea perpendicular al plano $\pi$. El vector director de $s$ será el vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (1, -1, 0)$. Ecuaciones paramétricas de $s$: $$\begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = -1 - \mu \\ z = 1 \end{cases}$$ Intersecamos $s$ con el plano $\pi$ ($x - y = 0$): $$(1 + \mu) - (-1 - \mu) = 0$$ $$1 + \mu + 1 + \mu = 0 \implies 2\mu + 2 = 0 \implies \mu = -1$$ Sustituimos $\mu = -1$ en $s$ para obtener $C$: - $x = 1 - 1 = 0$ - $y = -1 - (-1) = 0$ - $z = 1$ $$\boxed{C(0, 0, 1)}$$

Ya tenemos los tres vértices del triángulo: $A(-3, -3, 3)$, $B(1, -1, 1)$ y $C(0, 0, 1)$. Calculamos dos vectores con origen común, por ejemplo, $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = B - A = (1 - (-3), -1 - (-3), 1 - 3) = (4, 2, -2)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - (-3), 0 - (-3), 1 - 3) = (3, 3, -2)$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo de vértices $A, B, C$ se calcula como la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus vectores: $\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$.

Calculamos el producto vectorial $\vec{w} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante: $$\vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 2 & -2 \\ 3 & 3 & -2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{w} = \vec{i} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{vmatrix}$$ $$\vec{w} = \vec{i} (-4 - (-6)) - \vec{j} (-8 - (-6)) + \vec{k} (12 - 6)$$ $$\vec{w} = 2\vec{i} + 2\vec{j} + 6\vec{k}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (2, 2, 6)$$

Calculamos el módulo del vector resultante: $$|\vec{w}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 4 + 36} = \sqrt{44}$$ Simplificamos la raíz: $\sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11}$. El área del triángulo es: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{w}| = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{11} = \sqrt{11}$$ Si aproximamos el valor: $$\text{Área} \approx 3.317 \text{ unidades cuadradas}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \sqrt{11} \text{ u}^2}$$