Área de una región delimitada por una función polinómica

**2. Consideremos la región delimitada por la función $f(x) = x^2 - x^4$ y el eje de abscisas o eje OX. Realizad un esbozo de la región pedida (6 puntos) y calculad el área de la región. (4 puntos)** Para realizar el esbozo de la región, primero analizamos los puntos donde la función corta al eje OX (donde $y=0$): $$x^2 - x^4 = 0 \implies x^2(1 - x^2) = 0$$ Esto nos da tres puntos de corte: - $x^2 = 0 \implies x = 0$ - $1 - x^2 = 0 \implies x = 1, \; x = -1$ Además, observamos que la función es **par**, ya que $f(-x) = (-x)^2 - (-x)^4 = x^2 - x^4 = f(x)$. Esto significa que la gráfica es simétrica respecto al eje OY, lo que facilitará tanto el dibujo como el cálculo del área. 💡 **Tip:** Una función es par si es simétrica respecto al eje de ordenadas. Esto permite calcular el área en una mitad y multiplicar por dos.

Para precisar el esbozo, calculamos la derivada primera para hallar los máximos y mínimos: $$f'(x) = 2x - 4x^3$$ Igualamos a cero: $$2x(1 - 2x^2) = 0 \implies x = 0, \; x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \approx \pm 0.707$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos: $$ \begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) & -\frac{\sqrt{2}}{2} & (-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0) & 0 & (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) & \frac{\sqrt{2}}{2} & (\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - \\ f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array} $$ Los valores de los extremos son: - Mínimo en $(0, 0)$. - Máximos en $(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{4})$, ya que $f(\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2}) - (\frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$.

Con los puntos de corte $(-1,0), (0,0), (1,0)$ y los máximos relativos, podemos dibujar la región. La función queda por encima del eje OX en los intervalos $(-1, 0)$ y $(0, 1)$ porque en esos tramos $x^2 > x^4$ (por ejemplo, para $x=0.5$, $0.25 > 0.0625$). Representamos la función $f(x) = x^2 - x^4$ y sombreamos el área entre la curva y el eje $y=0$:

El área total $A$ es la suma de las áreas en los intervalos $[-1, 0]$ y $[0, 1]$. Debido a la simetría par de la función, el área es el doble de la integral entre $0$ y $1$: $$A = \int_{-1}^{1} (x^2 - x^4) \, dx = 2 \int_{0}^{1} (x^2 - x^4) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área delimitada por una función positiva y el eje OX entre $a$ y $b$ se calcula como $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$.

Calculamos la integral definida aplicando la regla de Barrow: $$A = 2 \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1}$$ Sustituimos los límites de integración: $$A = 2 \left( \left( \frac{1^3}{3} - \frac{1^5}{5} \right) - \left( \frac{0^3}{3} - \frac{0^5}{5} \right) \right)$$ $$A = 2 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = 2 \left( \frac{5 - 3}{15} \right) = 2 \left( \frac{2}{15} \right) = \frac{4}{15}$$ El área de la región es de aproximadamente $0.267$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{4}{15} \text{ u}^2}$$