Cálculo de parámetros en una ecuación matricial

Para resolver el ejercicio de forma más eficiente, podemos simplificar la ecuación dada aprovechando las propiedades distributivas de las matrices. La ecuación original es: $$ \mathbf{b} - A \cdot \mathbf{c} = A \cdot \mathbf{d} $$ Sumamos $A \cdot \mathbf{c}$ en ambos lados: $$ \mathbf{b} = A \cdot \mathbf{c} + A \cdot \mathbf{d} $$ Extraemos factor común de la matriz $A$ por la izquierda: $$ \mathbf{b} = A \cdot (\mathbf{c} + \mathbf{d}) $$ 💡 **Tip:** Siempre que veas una matriz multiplicando a varios vectores por el mismo lado, usa la propiedad distributiva $A(v+w) = Av + Aw$ para ahorrar cálculos.

Calculamos la suma de los vectores $\mathbf{c}$ y $\mathbf{d}$ en función de $y$: $$ \mathbf{c} + \mathbf{d} = \begin{pmatrix} y \\ 2y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 - 2y \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y + 6 - 2y \\ 2y - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - y \\ 2y - 2 \end{pmatrix} $$

Realizamos la multiplicación de la matriz $A$ por el vector resultante del paso anterior: $$ A \cdot (\mathbf{c} + \mathbf{d}) = \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 - y \\ 2y - 2 \end{pmatrix} $$ Multiplicando fila por columna: - Primera componente: $x(6-y) + y(2y-2) = 6x - xy + 2y^2 - 2y$ - Segunda componente: $0(6-y) + y(2y-2) = 2y^2 - 2y$ Por tanto: $$ A \cdot (\mathbf{c} + \mathbf{d}) = \begin{pmatrix} 6x - xy + 2y^2 - 2y \\ 2y^2 - 2y \end{pmatrix} $$

Igualamos el resultado obtenido al vector $\mathbf{b}$: $$ \begin{pmatrix} 6x - xy + 2y^2 - 2y \\ 2y^2 - 2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix} $$ Esto nos genera un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: 1) $6x - xy + 2y^2 - 2y = 2$ 2) $2y^2 - 2y = \frac{3}{2}$

Resolvemos la segunda ecuación, que solo depende de $y$: $$ 2y^2 - 2y - \frac{3}{2} = 0 $$ Multiplicamos toda la ecuación por $2$ para eliminar el denominador: $$ 4y^2 - 4y - 3 = 0 $$ Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$ y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{8} = \frac{4 \pm 8}{8} $$ Obtenemos dos posibles valores para $y$: - $y_1 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ - $y_2 = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$ 💡 **Tip:** No olvides que una ecuación cuadrática puede dar lugar a dos soluciones válidas; debemos analizar ambas en la primera ecuación.

Sustituimos cada valor de $y$ en la primera ecuación $6x - xy + (2y^2 - 2y) = 2$. Observa que, por la segunda ecuación, sabemos que $(2y^2 - 2y) = \frac{3}{2}$ en ambos casos. Así la ecuación se simplifica a: $$ 6x - xy + \frac{3}{2} = 2 \implies 6x - xy = \frac{1}{2} $$ **Caso 1: $y = \frac{3}{2}$** $$ 6x - x\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} \implies \frac{12x - 3x}{2} = \frac{1}{2} \implies 9x = 1 \implies x = \frac{1}{9} $$ **Caso 2: $y = -\frac{1}{2}$** $$ 6x - x\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \implies \frac{12x + x}{2} = \frac{1}{2} \implies 13x = 1 \implies x = \frac{1}{13} $$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = \frac{1}{9}, & y = \frac{3}{2} \\ x = \frac{1}{13}, & y = -\frac{1}{2} \end{cases}}$$