Distribución normal: alturas de estudiantes

**a) Porcentaje de estudiantes de 18 años de los institutos de Palma que miden más de $1.90$ m. (4 puntos)** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como la altura de un estudiante en metros. El enunciado nos indica que sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(1.78, 0.65)$$ Queremos calcular la probabilidad de que un estudiante mida más de $1.90$ m, es decir, $P(X \gt 1.90)$. Para ello, debemos **tipificar** la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ Sustituimos los valores: $$P(X \gt 1.90) = P\left(Z \gt \frac{1.90 - 1.78}{0.65}\right) = P\left(Z \gt \frac{0.12}{0.65}\right) \approx P(Z \gt 0.18)$$ 💡 **Tip:** Tipificar nos permite usar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$ que suelen venir con el examen.

Como las tablas de la normal estándar suelen ofrecer la probabilidad acumulada $P(Z \le z)$, aplicamos la propiedad del complementario: $$P(Z \gt 0.18) = 1 - P(Z \le 0.18)$$ Buscamos el valor $0.18$ en la tabla de la $N(0, 1)$: - En la fila $0.1$ y columna $0.08$, encontramos el valor $0.5714$. Calculamos: $$P(X \gt 1.90) = 1 - 0.5714 = 0.4286$$ Para obtener el porcentaje, multiplicamos por 100: $$0.4286 \cdot 100 = 42.86\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{42.86\%}$$

**b) Tomamos una muestra de 100 estudiantes de 18 años de los institutos de Palma y queremos seleccionar los 30 más altos. ¿Cuál es la altura mínima que debe tener un estudiante de 18 años de los institutos de Palma para ser seleccionado? (6 puntos)** Si queremos seleccionar los 30 estudiantes más altos de una muestra de 100, estamos buscando el valor de la altura $h$ que deja al **30%** de la población por encima de él. Esto equivale a decir que el **70%** de los estudiantes miden menos que esa altura $h$: $$P(X \gt h) = 0.30 \implies P(X \le h) = 0.70$$ Nuevamente, tipificamos la variable $X$ para poder trabajar con la tabla: $$P\left(Z \le \frac{h - 1.78}{0.65}\right) = 0.70$$ 💡 **Tip:** Cuando buscamos un valor de $X$ a partir de una probabilidad, estamos realizando el proceso inverso a la tipificación.

Buscamos en el interior de la tabla de la normal estándar el valor de probabilidad más cercano a $0.70$. Observamos que: - Para $z = 0.52$, $P(Z \le 0.52) = 0.6985$ - Para $z = 0.53$, $P(Z \le 0.53) = 0.7019$ El valor más próximo es $z = 0.52$ (podríamos usar $0.524$ para más precisión, pero $0.52$ es el estándar en Bachillerato). Igualamos la expresión tipificada al valor crítico obtenido: $$\frac{h - 1.78}{0.65} = 0.52$$ Despejamos $h$: $$h - 1.78 = 0.52 \cdot 0.65$$ $$h - 1.78 = 0.338$$ $$h = 1.78 + 0.338 = 2.118$$ La altura mínima necesaria es aproximadamente **$2.12$ m**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{h = 2.118 \text{ m}}$$