Posición relativa y proyección ortogonal de una recta sobre un plano

**3. Determinad la posición relativa del plano $x + y + z = 1$ con la recta de ecuaciones $x - 1 = y - 1 = \frac{z-1}{-2}$. (4 puntos)** Primero, extraemos el vector normal del plano $\pi$ y un punto y el vector director de la recta $r$. Para el plano $\pi: x + y + z = 1$, el vector normal es: $$\vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$$ Para la recta $r: \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{-2}$, obtenemos: - Un punto de la recta: $P_r(1, 1, 1)$ - El vector director de la recta: $\vec{v}_r = (1, 1, -2)$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua de la recta $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$, el vector director es $(a, b, c)$ y el punto es $(x_0, y_0, z_0)$.

Para conocer la posición relativa, calculamos el producto escalar entre el vector director de la recta $\vec{v}_r$ y el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (1, 1, -2) \cdot (1, 1, 1) = 1(1) + 1(1) + (-2)(1) = 1 + 1 - 2 = 0$$ Como el producto escalar es **cero**, el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano. Esto significa que la recta $r$ es **paralela** al plano $\pi$ o está **contenida** en él. Para distinguir ambos casos, comprobamos si el punto $P_r(1, 1, 1)$ pertenece al plano sustituyéndolo en su ecuación: $$1 + 1 + 1 = 3 \neq 1$$ Como el punto no satisface la ecuación, la recta no está contenida en el plano. ✅ **Resultado (Posición relativa):** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ y el plano } \pi \text{ son paralelos.}}$$

**Calculad la proyección ortogonal de la recta sobre el plano. (6 puntos)** La proyección ortogonal de una recta $r$ sobre un plano $\pi$ es otra recta $r'$ que se obtiene como la intersección del plano $\pi$ y un plano auxiliar $\pi'$ que contiene a la recta $r$ y es perpendicular a $\pi$. El plano proyectante $\pi'$ vendrá definido por: 1. El punto $P_r(1, 1, 1)$ de la recta $r$. 2. El vector director de la recta $r$, $\vec{v}_r = (1, 1, -2)$. 3. El vector normal del plano $\pi$, $\vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$ (ya que $\pi'$ debe ser perpendicular a $\pi$).

Calculamos el vector normal del plano $\pi'$, que llamaremos $\vec{n}_{\pi'}$, mediante el producto vectorial de los dos vectores directores que hemos identificado: $$\vec{n}_{\pi'} = \vec{v}_r \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n}_{\pi'} = \mathbf{i}(1 \cdot 1) + \mathbf{j}(-2 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1) - \left[ \mathbf{k}(1 \cdot 1) + \mathbf{i}(-2 \cdot 1) + \mathbf{j}(1 \cdot 1) \right]$$ $$\vec{n}_{\pi'} = (1, -2, 1) - (-2, 1, 1) = (1 - (-2), -2 - 1, 1 - 1) = (3, -3, 0)$$ Podemos simplificar el vector normal usando $\vec{n}_{\pi'} = (1, -1, 0)$ para facilitar los cálculos. 💡 **Tip:** En geometría, puedes multiplicar o dividir un vector normal por un escalar distinto de cero sin cambiar la orientación del plano que define.

Con el vector normal $\vec{n}_{\pi'} = (1, -1, 0)$ y el punto $P_r(1, 1, 1)$, la ecuación del plano $\pi'$ es: $$1(x - 1) - 1(y - 1) + 0(z - 1) = 0$$ $$x - 1 - y + 1 = 0$$ $$x - y = 0$$ Este es el plano que contiene a la recta $r$ y cae de forma "perpendicular" sobre el plano $\pi$.

La recta proyectada $r'$ es la intersección de los dos planos. Por tanto, su ecuación implícita es: $$r' \equiv \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y = 0 \end{cases}$$ Si queremos expresarla en forma continua, buscamos un punto y un vector. De $x-y=0$ obtenemos $x=y$. Sustituyendo en la primera: $$y + y + z = 1 \implies 2y + z = 1 \implies z = 1 - 2y$$ Si hacemos $y = \lambda$, tenemos las paramétricas: $$\begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 - 2\lambda \end{cases}$$ El punto es $(0, 0, 1)$ y el vector es $(1, 1, -2)$. ✅ **Resultado (Proyección ortogonal):** $$\boxed{r' \equiv \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y = 0 \end{cases} \quad \text{o bien} \quad \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{-2}}$$