Determinación de parámetros para una recta tangente común

Para que las gráficas de las funciones pasen por el punto $(1, 0)$, se debe cumplir que $f(1) = 0$ y $g(1) = 0$. Evaluamos la función $g(x) = x - cx^2$ en $x = 1$: $$g(1) = 1 - c(1)^2 = 1 - c.$$ Como $g(1) = 0$, tenemos: $$1 - c = 0 \implies c = 1.$$ Evaluamos la función $f(x) = x^4 + ax^2 + bx$ en $x = 1$: $$f(1) = 1^4 + a(1)^2 + b(1) = 1 + a + b.$$ Como $f(1) = 0$, obtenemos la primera ecuación para $a$ y $b$: $$1 + a + b = 0 \implies a + b = -1.$$ 💡 **Tip:** Si una función pasa por un punto $(x_0, y_0)$, siempre se cumple la igualdad $f(x_0) = y_0$. $$\boxed{c = 1, \quad a + b = -1}$$

Para que ambas funciones tengan la misma recta tangente en el punto $(1, 0)$, sus derivadas en $x = 1$ deben coincidir, ya que la derivada representa la pendiente de la recta tangente. Calculamos las derivadas genéricas: $$f'(x) = 4x^3 + 2ax + b$$ $$g'(x) = 1 - 2cx$$ Sustituimos $x = 1$ en ambas: $$f'(1) = 4(1)^3 + 2a(1) + b = 4 + 2a + b$$ $$g'(1) = 1 - 2c(1) = 1 - 2c$$ Como ya sabemos que $c = 1$, calculamos la pendiente de $g$: $$m = g'(1) = 1 - 2(1) = -1.$$ Igualamos la pendiente de $f$ a este valor: $$4 + 2a + b = -1 \implies 2a + b = -5.$$ 💡 **Tip:** Dos funciones tienen la misma recta tangente en un punto común si sus derivadas son iguales en ese punto: $f'(x_0) = g'(x_0)$. $$\boxed{f'(1) = g'(1) \implies 2a + b = -5}$$

Ahora resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones obtenidas para $a$ y $b$: 1) $a + b = -1$ 2) $2a + b = -5$ Podemos restar la primera ecuación a la segunda: $$(2a + b) - (a + b) = -5 - (-1)$$ $$a = -4.$$ Sustituimos el valor de $a$ en la primera ecuación para hallar $b$: $$-4 + b = -1 \implies b = 3.$$ Los valores de los coeficientes son: $$\boxed{a = -4, \quad b = 3, \quad c = 1}$$

La recta tangente pasa por el punto $(1, 0)$ y tiene pendiente $m = -1$ (calculada en el paso 2). Usamos la ecuación punto-pendiente: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ $$y - 0 = -1(x - 1)$$ $$y = -x + 1.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente en $x=a$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{y = -x + 1}$$