Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) Discutid para qué valores de $a$ el sistema siguiente es compatible:** Para discutir el sistema según los valores del parámetro $a$, primero escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} a+2 & a-1 & -1 \\ a & -1 & 1 \\ 11 & a & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a+2 & a-1 & -1 & 1 \\ a & -1 & 1 & -1 \\ 11 & a & -1 & a \end{array}\right)$$ El sistema será compatible o no dependiendo del rango de estas matrices, según el **Teorema de Rouché-Capelli**. 💡 **Tip:** Recuerda que un sistema es compatible si $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*)$. Si además este rango coincide con el número de incógnitas, es determinado (SCD); si es menor, es indeterminado (SCI).

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a+2 & a-1 & -1 \\ a & -1 & 1 \\ 11 & a & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(a+2)(-1)(-1) + (a-1)(1)(11) + (-1)(a)(a)] - [11(-1)(-1) + a(1)(a+2) + (-1)(a)(a-1)]$$ $$|A| = [a+2 + 11a-11 - a^2] - [11 + a^2+2a - a^2+a]$$ $$|A| = [-a^2 + 12a - 9] - [11 + 3a]$$ $$|A| = -a^2 + 9a - 20$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-a^2 + 9a - 20 = 0 \implies a^2 - 9a + 20 = 0$$ Resolviendo la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2} \implies \begin{cases} a_1 = 5 \\ a_2 = 4 \end{cases}$$ $$\boxed{|A| = 0 \iff a = 4 \text{ o } a = 5}$$

Si $a \neq 4$ y $a \neq 5$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es máximo: $$\text{rango}(A) = 3$$ Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensiones $3 \times 4$, su rango también debe ser $3$ (no puede ser mayor que el número de filas). Dado que $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$, por el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{4, 5\}, \text{ el sistema es compatible (SCD)}}$$

Si $a = 4$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 6 & 3 & -1 & 1 \\ 4 & -1 & 1 & -1 \\ 11 & 4 & -1 & 4 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) < 3$. Como el menor $\begin{vmatrix} 6 & 3 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = -6-12 = -18 \neq 0$, entonces **$\text{rango}(A) = 2$**. Estudiamos el rango de $A^*$ comprobando si el determinante de la matriz formada por las columnas 1, 2 y 4 es nulo: $$\begin{vmatrix} 6 & 3 & 1 \\ 4 & -1 & -1 \\ 11 & 4 & 4 \end{vmatrix} = (-24-33+16) - (-11-24+48) = -41 - 13 = -54 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 distinto de cero en $A^*$, **$\text{rango}(A^*) = 3$**. Dado que $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**.

Si $a = 5$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 7 & 4 & -1 & 1 \\ 5 & -1 & 1 & -1 \\ 11 & 5 & -1 & 5 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) < 3$. Como el menor $\begin{vmatrix} 7 & 4 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = -7-20 = -27 \neq 0$, entonces **$\text{rango}(A) = 2$**. Estudiamos el rango de $A^*$ comprobando el determinante de las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 7 & 4 & 1 \\ 5 & -1 & -1 \\ 11 & 5 & 5 \end{vmatrix} = (-35-44+25) - (-11-35+100) = -54 - 54 = -108 \neq 0$$ Como el determinante es distinto de cero, **$\text{rango}(A^*) = 3$**. Dado que $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**.

Resumiendo los casos analizados: - El sistema es **Compatible Determinado** si $a \in \mathbb{R} \setminus \{4, 5\}$. - El sistema es **Incompatible** si $a = 4$ o $a = 5$. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{\text{El sistema es compatible } \forall a \in \mathbb{R} \setminus \{4, 5\}}$$

**b) Resolvedlo en el caso en que $a = 0$.** Sustituimos $a = 0$ en el sistema original: $$ \begin{cases} 2x - y - z = 1 \\ -y + z = -1 \\ 11x - z = 0 \end{cases} $$ De la tercera ecuación, despejamos $z$: $$z = 11x$$ Sustituimos $z$ en las otras dos ecuaciones: 1) $2x - y - (11x) = 1 \implies -9x - y = 1 \implies y = -9x - 1$ 2) $-y + (11x) = -1 \implies y = 11x + 1$ Igualamos las expresiones para $y$: $$-9x - 1 = 11x + 1 \implies -20x = 2 \implies x = -\frac{2}{20} = -\frac{1}{10}$$ Ahora calculamos $y$ y $z$: $$y = 11\left(-\frac{1}{10}\right) + 1 = -\frac{11}{10} + \frac{10}{10} = -\frac{1}{10}$$ $$z = 11\left(-\frac{1}{10}\right) = -\frac{11}{10}$$ 💡 **Tip:** Siempre puedes verificar la solución sustituyendo los valores en cualquiera de las ecuaciones originales. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{x = -\frac{1}{10}, \quad y = -\frac{1}{10}, \quad z = -\frac{11}{10}}$$